本篇涵蓋第一、二章全部，以及第三章 §3.3–§3.6（超內涵性個案研究），不是全書摘評：第四章（Frege 難題）與第五章（內涵形上學）未涵蓋在內。 ::

過度擬合的案例，是反不可能句（counterpossibles）的空洞真理：

If there were a largest prime, it would make no difference to mathematics. 如果存在最大質數，這對數學不會有任何影響。

而和其相反的反事實條件句，則被認為是真的：

If there were a largest prime, it would make a difference to mathematics. 如果存在最大質數，這對數學會有影響。

這暗示了一個假設，我們將相反的反事實條件句看成相互不一致的。Williamson 認為，這並不是因為我們這兩個條件句真正矛盾，他的例子是：

If the Russell set were a member of itself and not a member of itself, it would be a member of itself. 如果羅素集既屬於自身又不屬於自身，它就會屬於自身。

If the Russell set were a member of itself and not a member of itself, it would be not a member of itself. 如果羅素集既屬於自身又不屬於自身，它就不會屬於自身。

它們看起來都被我們接受了，但它們確實是相反的。

因此他提議將相反的反事實條件句的不一致性（它們的後件不見得需要矛盾，譬如：「如果瑪麗亞在歐洲，她會在義大利」和「如果瑪麗亞在歐洲，她會在西班牙」），看成心理學意義上的啟發法（heuristic）：一種認知捷徑，在大多數情況下可靠，但並非在所有情況下都可靠。

Williamson 主張，那些看似虛假反不可能條件句的例子，是我們無意識依賴反事實條件句相互不一致性啟發法所產生的假象。

假設性啟發法（suppositional heuristic）的概念和 Frank Ramsey 對評估條件句的建議相關，此即 Ramsey test：當你要評估一個條件句時，你就先假定其前件為真，然後判斷在此條件下後件是否成立。另一種測試則是透過機率來評估條件句：條件句的概率應該是其後件基於前件的條件概率。Williamson 認為，這個測試是在限制想像力的應用，「使用『如果』等條件性詞彙的認知價值在於，它們使我們能夠提取、闡明和傳達嵌入在我們發展假設的經驗性方式中的資訊，而這些方式是我們『線上』更新對未來期望能力的『離線』類比。」

接著談模糊性（vagueness）問題。連鎖悖論（ sorites paradoxes）的主要前提包含所謂的模糊語詞容忍原則（tolerance principles for vague terms），有人將其看成「分析的」或「概念連結」，Williamson 則認為，應該加上「啟發法」作為補充視角：儘管容忍原則會產生悖論，但在幾乎所有情況下，它們都是保真的。這個原則的失敗是無可避免的，但是省力、可靠的。

啟發法

啟發法的功能是提供一種解決特定類型問題的方法，這種方法必須夠快、夠簡單、夠有效率且夠可靠，才能實用。這種方法必須能夠即時實行。

它可以夠可靠，而不必完全可靠。

此處的可靠性等同於該方法提供正確解決方案的機率，其中正確性的標準內建於問題的規格中。例如，聞食物以檢查是否有異味，是一種判斷食物是否仍可食用的啟發法。由於食物可能變質卻沒有異味，這並不是一個完全可靠的測試，但它比將食物送實驗室檢測更快、更方便且更便宜。對某些食物而言，它比對其他食物更可靠。

持續性啟發法（persistence heuristic）

微小的改變無關緊要。

該啟發法容易產生連鎖悖論。

條件句的假設性啟發法（suppositional heuristic）

在假設 $\Gamma$ 下評估「如果 A，則 C」，就像在假設「$\Gamma \cup$ A」的情況下評估「C」一樣。原始的、較簡單的版本對應於 $\Gamma$ 是空集合的特殊情況。在更複雜的推理中，我們經常發現自己在假設中做出假設。此外，假設性啟發法也可應用於通則性的概括，例如「老虎有條紋」，我們並不會因為偶爾出現白化老虎就認為此說法被推翻。從認識論層面來看，假設性思考的一個優點在於，當因無法單獨評估前件或後件，真值函數式思考不可行時，它往往仍然可行。

假設性啟發法有著內部不一致：

• 第一種不一致來自程度性態度（graded attitude）。若主張將條件句的機率等同於相對應的條件機率，會落入 Lewis 證明的瑣碎性結果（triviality result）問題：不可能存在三個互斥且具有非零機率的可能性（Lewis 1976, S&T: 42-3）。Williamson 主張，有些人投入心力去透過對方程式的限制或是複雜化來規避這問題，正是一種對啟發法的錯誤反應。
• 第二種不一致：首先，我們將廣義的啟發法應用於對演繹蘊涵的評估，原則為，$P(A^*C|B) = 1$，若且唯若 $P(C|B \wedge A) = 1$（假設 $P(B \wedge A) \neq 0$）。這可以形式化為 $\Gamma \vdash A^* C$ 和 $\Gamma \cup \{A\} \vdash C$ 的等價（從左到右是 MP 規則，從右到左是條件句引入規則）。似乎也可以用於演繹不相容的情況，$P(A^*C|B) = 0$，若且唯若 $P(C|B \wedge A) = 0$（同樣假設 $P(B \wedge A) \neq 0$）。形式化為 $\Gamma \vdash^{\neg} A^* C$ 和 $\Gamma \cup \{A\} \vdash^{\neg} C$ 的等價，$\vdash^{\neg}$ 的意思是演繹上不相容，由於演繹上不相容蘊含在演繹上蘊含其否定，因此相當於 $\Gamma \vdash \neg (A^* C)$ 和 $\Gamma \cup \{A\} \vdash \neg C$ 等價，但這又能進一步推導出 $\neg(A^*C)$ 等價於 $\neg(A \wedge C)$，於是變成 $^*$ 等價於 $\wedge$，但這是不可能的。

數學證明為何不會被這種矛盾困擾？原因在於，在數學中，可駁斥性被直接等同於其否定命題的可證明性，而非被視為一種獨立的評估模式（ mode of assessment）。數學只接受唯一的有效（operative）評估模式：「接受」（acceptance）。Williamson 將其描述為「接受優先於拒絕」的現象：透過接受「非 A」來拒絕「A」。他指出，在自言自語中對語句的預設態度是接受，這種認知傾向有助於減少心理上的混亂，因為不需要特別標示態度。這種認知傾向在處理直接信念和假設性態度時都很有效。

人們經常會接受那些由記憶保存或透過證言傳遞的條件句，而不再於新的知識脈絡中重新進行假設性的檢驗。例如，當以假設性啟發法來評估「若 A，則 C」與「若 A，則非 C」時，我們不會同時接受這兩個句子。但我有可能從一個可信來源接受「若 A，則 C」，又從另一個來源接受「若 A，則非 C」，這時，我可能會認為「非 A」。這種實踐也影響了假設性啟發法。考慮人們在整體上是如何使用條件句來編碼語傳遞資訊，我們可以主張，條件句所穩定關聯的訊息其實就是實質蘊含的內容，不僅僅在數學領域內如此。

語義學和啟發法之間的關聯可能會變得比較間接。當我們將條件機率視作對條件句在實質性的詮釋下的機率的估計 $P(A \rightarrow C)$ 時，估計往往過低；就此意義來說，啟發法可能導致我們對條件句的信任不足。但如果，將條件句設定成更嚴格的真值條件，就會使啟發法高估它的機率，而如果設定成更寬鬆，又會使條件句資訊不足。因此，採用實質性的真值條件，能使條件句在不會讓啟發法高估其機率的前提下，有最大的資訊量。

去引號語信念歸屬的啟發法（Disquotation and heuristics for belief ascription）

兩個孩童之間的基本對話：

John：我比你高。

Janet：這不是真的！我比你高。

Williamson 分析，在這過程中 Janet 立即性產生了間接言說報告（indirect speech report）——我們經常藉由間接言說報告來評估他人的陳述，而無法直接評估對方的言說語句。內含的推理大致如下：

• (1) John 說他比我高。（間接言說報告）
• (2) John 所說的話 = 他比我高。（在與 John 所說的話無關的脈絡下重新表述）
• (3) 他不比我高。（Janet 相信的事實）
• (4) 他比我高為真，若且唯若他比我高。（T 的一個實例）
• (5) John 所說的話為真，若且唯若他比我高。（2, 4，Leibniz 律）
• (6) John 所說的話不為真。（3, 5，雙條件句的 MT 規則）

(T) 原則早見於柏拉圖的《Sophist》以及亞里斯多德的《Metaphysics》。柏拉圖與亞里斯多德在提出關於真理的原則時，也搭配了相應的虛假原則：

• (T) P 為真，若且唯若 P。
• (F) P 為假，若且唯若非 P。

對應到 (4) 的 (F) 實例是 (4*)：

• (4*) 他比我高為假，若且唯若他不比我高。（F 的一個實例）

也可以推出 (5*) 和 (6*)：

• (5*) John 所說的話為假，若且唯若他不比我高。（2, 4*，Leibniz 律）
• (6*) John 所說的話為假。（3, 5*，雙條件句的 MT 規則）

除非 Janet 懷疑 John 不誠實，否則她很可能會得出結論：不僅 John 所說的是假的而非真的，他所想的也是如此。她可能會直接從「他說他比我高」這樣的間接引語，推論到「他認為他比我高」的信念歸屬。這裡預設的假設是「誠實啟發法」（sincerity heuristic）：

• 如果某人說 P，那麼他就相信 P。

相反的原則是「不沉默啟發法」（non-reticence heuristic）：

• 當某人相信 P 時，他就會說 P（當問題出現時）。

這樣的去引號啟發法以及信念歸屬的啟發法，可能產生像是 Hesperus 與 Phosphorus 這種共指稱詞項所產生的弗雷格難題。正確的態度是，將這種現象理解為啟發法不可避免的局限性。

我們可以預期，人類在心理學家所謂的心靈閱讀（mindreading）能力上，應包含對於多種不同命題態度的啟發法。不應假設在缺乏正面行為證據（例如言語）來歸屬態度時，預設立場是不予歸屬。特別是對於知識這種核心態度而言，預設立場可能是：除非有特定理由不予歸屬，否則便歸屬對真理的知識。最有效率的認知策略，或許就是預設世界對所有潛在認知者都是開放可見的，然後再個別追蹤阻礙認知接入的具體因素。

比喻來說，如果每個人腦中都攜帶著一份關於世界的心理地圖，我不需要同時攜帶其他人各自心理地圖的地圖，之類的。更輕鬆的做法是只攜帶一份心理地圖，在上面標示出他人的位置，並在此基礎上以或多或少系統化的方式（頂多只是臨時因應）進行必要調整，而不是預設他人的心靈是一片空白。根據這種開放世界啟發法，我們將會把大量知識歸屬於那些完全沒有表現出類似言語行為的生物身上。

除了歸屬信念的去引號原則可能引起信念悖論以外，用於歸屬真實與虛假的去引號原則也會引發類似說謊者悖論的語義悖論。但這類悖論正是某種底層啟發法正在運作的證據。

理由權衡的啟發法

權衡理由是一種比喻，像是把理由放在天平上面秤重，而這實際上就是一種加法模型。

這種加法模型有好處，但也有錯誤的結果。兩個來自不同來源的理由，有可能分別來看都是支持某行為或態度的理由，但兩個理由加總在一起，可能反而成為了反對該行為或態度的理由。如果要反對這樣的反例，就必須放棄權衡的比喻。

Williamson 認為，加法模型的支持者可以將權衡的比喻視為用來整合理由的一種便利啟發法，因為反例情境是無法完全避免的。

在哲學方法論上的啟示

啟發法有時候會失敗，Williamson 認為不需要過度擔心，就像感官也並不完全可靠。而就像是科學家可以透過放下對感官的依賴來做出更正確的判斷一樣，在哲學中或許也需要類似方法，用以控制哲學中普遍存在的抽象啟發法（例如上述那些）所引發的錯誤風險。

啟發法的輸出需要評估其可靠性，無論如何，可靠性的定義仍然是基於某個完全獨立於啟發法本身之外的真實性或準確性標準。啟發法並未被賦予決定其所輸出之判斷或估計內容的任何角色。

似乎有某種啟發法可能被視為一種「分析性」或「概念性」的連結，甚至近乎於定義。當它們受到挑戰，可能引發哲學上的危機。然而，Williamson 指出，一旦我們正確辨識出這些啟發法，它們極少適合作為「分析性」或「概念性」地位的候選者。這些啟發法不僅在既有背景知識下不一致：即使在簡單明確、毫無疑義的情境中，它們也會失靈。

一個替代方法是，不將它們視為具有分析性或概念性的地位，而是在我們決定相關術語意義的過程中扮演角色。這屬於後設語義學的探討：關於特定社群所使用的語言之語義依賴或至少構成性地依賴的因素的研究。在這個層次上，有類似「慈善原則」（principle of charity）的機制在作用，在滿足其他詮釋的約束條件的前提下，支持那些能最大化歸給該社群的知識詮釋。該社群或其成員所採用的啟發法，屬於後設語義學中假設的隨附基礎（supervenience base）的一部分。

提中的一種寬容詮釋的策略是脈絡主義：透過隨著詞項使用脈絡的不同而改變其指稱的賦值。脈絡主義策略已被應用於上述各類啟發法所涉及的情境中，包括模糊性、條件句、信念歸屬、真假判斷以及理由等。然而，由於這些啟發法即使在單一脈絡內仍然適用，脈絡主義仍無法使其表現出完全的可靠性。

Williamson 指出，脈絡主義策略有個缺點也常被忽視：當以口語形式傳遞的資訊透過記憶與證言在不同脈絡間傳播時，若行動主體未能持續追蹤所有相關脈絡的特徵，脈絡主義往往表現不佳，而倘若以語言形式來儲存關於語言脈絡的資訊，又會面臨無限倒退的威脅。他進一步指出，人們對脈絡主義的觀點往往過於樂觀，忽視了它因特設調整而帶來的複雜情況。

另一種可能的妥協，是為術語的應用設置預設標準，但在特定脈絡中抑制該預設標準。但由於像是代名詞或指示詞並沒有預設的指涉對象，脈絡敏感的理論必須說明它並未假設有這種預設，否則它便不算完全可靠。

過擬合與自由度

Williamson 指出，天真的 Karl Popper 的證偽論「科學理論具有可證偽性卻不具可驗證性」，作為方法論具有 Joshua Alexander 和 Jonathan Weinberg 的錯誤脆弱性（error-fragile），單一錯誤便可能引發災難性後果。

即使科學界提高接受觀測報告的標準，要求具備可重複性，也無法完全解決錯誤脆弱性問題。因為當實驗結果可重複時，問題仍可能存在：實驗設計本身可能有缺陷、關鍵的系統性干擾因素可能被忽略。從科學理論推導可驗證的預測，通常也需依賴輔助假說，錯誤預測因此也可能源於輔助假說，而非被檢驗理論本身，如 Pierre Duhem 所指出的。

數學是科學領域中少數僅需單一反例便足以構成決定性反駁的學科。

Williamson 表示，許多當代哲學家採用的方法論，與天真證偽論的相似程度令人不安。他們使用思想實驗而非現實實驗，但這並未解決理論易受錯誤影響的問題。即便哲學對於證偽論的應用並非那麼天真，它不會將某位哲學家對思想實驗的裁決視為對某種哲學理論的駁斥，只有當受某個思想實驗影響的大多數學者，在沒有串通的情況下，都獨立認同其說服力時，該實驗的結論才會在哲學界獲得普遍接受。這意味著哲學領域的思想實驗，實質上具備可重複驗證的特質。

儘管越來越多證據顯示（Mortensen and Nagel 2016, Knobe 2021），哲學界對思想實驗的傳統裁決，多半是人類自然形成的判斷，且不受種族與性別影響。然而，人類對思想實驗的自然判斷終究是主觀評斷，其真實性並無保證。但 Williamson 認為，這不代表我們應該放棄思想實驗，而是應該學習科學的做法，尋求控制措施，以減少錯誤脆弱性。

資料擬合

Williamson 指出，無論在哲學或自然科學領域，合理假設應是：我們試圖設計的理論需契合一組資料點，而這些資料點未必全數正確。但我們無法僅憑在思想實驗中做出判斷時更謹慎的決心來解決問題，而是需要一種容錯方法論，使我們能夠在犯錯後識別並修正錯誤，而非徒勞地確保我們始終不會犯錯。我們應該參考自然科學中曲線擬合的運作原理。

給定 n 個不同資料，我們可以一個 n-1 次多項式通過所有 n 個點，包含 n 個參數。由於此方程式由 n 個獨立參數定義，該方程式有 n 的自由度。根據假設，部分資料點存在錯誤——測量過程中發生了失誤。即使資料中不存在系統性誤差，仍存在隨機雜訊。曲線會貫穿所有資料點，無論其正確與否。

此時，假設又獲得了 k 個資料點，這些資料點否證了我們的舊理論（因為我們的理論具有錯誤）。然而，我們仍能找到一項精確通過所有舊資料點與新資料點的 n+k-1 次多項式，它具備 n+k 的自由度。每當有新資料輸入時，此過程便會重複進行。由於多項式的次數始終在增加，整體結果不會逐漸趨近正確方程式，反而可能出現愈發劇烈的振盪。這將導致每個階段的預測都出現重大失誤。

科學家這樣的情況稱作「過擬合」，將導致理論建構不穩固與預測失準。對科學家而言，過擬合的關鍵徵兆在於自由度的增加：只要自由度更高，什麼都能建模。自由度應該不能天真看成靈活度的象徵，它具有其成本。因此，科學界普遍傾向於在自由度上採取簡約原則，即使這意味著模型與資料的吻合度會降低：當模型對資料的適應彈性降低時，錯誤資料點更容易顯現為異常值，使潛在模式能更清晰浮現；資料中的誤差所造成的扭曲效應也能隨之減弱。

Sider 主張，簡潔性僅在物理學與形而上學最基礎層級的理論中才構成德行，但 Williamson 不同意，他認為這觀點既與科學實踐相悖，也違背其理論根基。科學的自由度的理解能為哲學帶來什麼啟發？

哲學分析中的過擬合

在二十世紀延續至今的傳統中，哲學家試圖為日常語言中具哲學意義的詞彙或其概念提供了所謂的「概念分析」。哲學家所提出的分析方法皆經由潛在反例檢驗，多源自假設案例。因此，相關資料被視為關於假設性案例的資料，其表述方式大致與分析項或被分析項保持一致。

既然分析項被視為分析對象的必要且充分條件，反例便可能指向所謂的必要性或充分性。眾所周知，交替螺旋式增長的分析日益複雜。Williamson 將這個現象類比於托勒密天文學的傳統。

若假設分析項的複雜結構在與被分析項進行即時思考的過程中扮演某種認知角色，便會引發計算可行性問題，這看起來無法由普通認知者在即時環境中進行，但若非如此，分析將變得神秘，因為這本應是對我們思考時所用概念的剖析。

哲學家為何期待具有哲學意義的概念能被分析？分析本不該是無止境的；它理應在某處觸底。在早期分析哲學中，分析計畫的動機源自更為普遍的假設。例如，Bertrand Russell 提出過「親知原則（Principle of Acquaintance）」：我們所能理解的任何命題，其構成要素必須全數為我們所親知。他將此稱為「分析含描述性命題時的基本認識論原則」。但後來的分析哲學家們所追求的分析計劃，其成功前景並未獲得如此宏觀視野的支持。

隨著概念分析的熱潮逐漸消退，形上學在分析哲學中重新興起，許多仍致力於分析的哲學家將其研究定位為形上學探索而非概念分析。他們試圖剖析因果關係本身而非因果概念，探究自由本身而非自由概念。 相應地，分析成功的標準已從概念上的必要充分性，轉變為分析項在形上學層面對被分析項的必要充分性；同時分析項在某種意義上需形上學地先於被分析項，而非概念上的先在性。焦點已從「我們如何思考」轉移至「我們思考的對象」。

然而，對某個概念分析的異例，通常是分析項成立而被分析項不成立，或反之的情況；由於這些案例在形而上學層面與概念層面都看似可能，它們同時也構成對相應形而上學分析的異例。因為針對概念優先性的異例往往能轉化為對形上學優先性的質疑，而對形而上學優先性的異例也常可轉化為對概念優先性的質疑。基於這些原因，將分析基準從概念分析切換至形而上學分析，對分析成效的提升收效甚微。這系列分析不僅未見趨同，反而呈現出過擬合所伴隨的理論不穩定性與預測失效現象。

即使我們姑且假設萬物在形而上學層面終究可還原至某種絕對基礎層級，亦不意味著目標現象歸結至基本層級時，會先經由哲學分析對象特有的高度非基礎層級現象進行中介處理。就如在典型知識分析中，歸結至信念、真理、正當性、因果關係、反事實假設等層級一樣，該理論框架在實踐歷程中展現的理論不穩定性與預測失效現象，正是此類中介化過程並不存在的例子。

要使基於啟發法的 JTB 辯護得以妥善發展，而非淪為泛用懷疑論論證的又一例證，需要一些條件：

1. 需明確指出問題所在的啟發法機制。
2. 需提供獨立證據，證明我們確實運用此類啟發法。
3. 需展示該啟發法如何對蓋提爾案例作出否定性裁決。
4. 需闡明為何對「知道」等詞彙的寬容解讀，仍會將「證成真信念」作為其指涉對象。

Williamson 認為 JTB 是一個過擬合的案例：

1. 傳統辯護透過對證成性的原始理解，在此理解下，證成的假信念是可能的。在這種情況下，即便在更嚴苛的規範性證成理解中，證成真信念可能是知識的必要且充分條件，但這並不構成對 JTB 理論的辯護。
2. 評估 JTB 的另個途徑是，知識是我們日常思考與談論認知議題的核心焦點：「有理由」的認知狀態。在這觀點下，知道與不知道的區分遠比信念是否具備證成性更為原始，而內部證成性更能恰當地作為核心的知識論規範。但當他們承認知識需要真值，這就又是一個外部因素。自然主義立場會主張「知識」是基礎概念，而「證成信念」不是。但無論如何，任何內在論的證成性標準都無法使「知其真值且具備相關條件」等同於知識，因為內在論者會承認，外部可靠性可獨立於內部現象學與證成性而變化。
3. 形式主義會觀察 JTB 在信念邏輯的形式化框架內，如何於簡易模型中展現作用。結論是，JTB 具有微妙的選言效果。在以世界集合建模下，在世界 w 所知的命題，恰為在世界 w 中被證成相信的命題，以及 $\{w\}$ 的聯集。Williamson 洞察，這個選言式既繼承了前選言項的「可證成相信」的屬性，也繼承了後選言項的「真值」屬性。已知命題僅是可證成相信的命題再附加一個額外標記，它們幾乎無法構成自然類。這使得 JTB 將知識轉化為一種相當人為、刻意劃分的類別，幾乎不可能是「知道」所涉及的對象。

整合這些方法論，我們有諸多理由將 JTB 視為一個糟糕的理論。但作為異例，它具有啟發性，如形式主義揭示，當連言項間缺乏實質關聯時，連言分析看似具有的統合效果往往虛實難辨。雜項因素的連言亦是過擬合的徵兆，它暗示了過多的自由度。

語義學中的過擬合

Williamson 指出，因為以下原因，語意學領域為過擬合與自由度等議題提供了極具啟發性的測試案例：

形式框架本身便適合用於計數自由度。通常，語義會在形式模型中實現。我們可以將「將參數值序列映射至該序列對應的表達式語義值」的函數視作一個表達式在模型中的意義。理論家選擇參數，來使語義學具備組合性（compositional），以解釋語言使用者如何理解由既知詞彙構成的新句式。由於競爭性的形式框架普遍認同「每個原子表達式必須擁有專屬意義」的原則，且在「哪些表達式屬於原子表達式」的認定上也趨於一致，在比較形式框架時，我們可假設形式框架中的參數數量等同於模型的自由度，來比較各框架的差異。

此外，自然語言的正式語義學具有強烈的資料驅動特性。那些無法被舊有框架處理的自然語言範例，提供了理論革新的動力，它們通常以樣本語句的形式呈現。

歷史上某些極為成功的語義框架修正，確實是以新增參數、增加自由度的方式實現的，例如 Kripke 透過為模型增設「可能世界」參數來革新模態邏輯的語義學，被視為「內涵革命」的開端。而在此之前，非模態謂詞邏輯已有外延模型：每個非模態模型都提供了一個個體集合作為量化域，及在個體常元在該域中的指涉項。為了符合將非模態邏輯的模型適應於模態邏輯的需求，一種經濟的策略是，將模態運算子視作對外延模型本身的推廣。Carnap 則以語法性的「狀態描述」（state-description）取代外延模型，達到類似的效果，但，Williamson 指出，因為技術原因，成效不彰。相反地，Kripke 模型成為了分析哲學的標準，清晰形式結構使其適合數學研究，也在計算機領域取得成效。

另一個例子是 David Kaplan 對脈絡依賴性的處理。在 Kaplan 之前，人們或許期望處理內涵運算符所需的參數也能追蹤脈絡依賴性，但 Kaplan 證明並非如此，他指出，我們必須區分發話情境與評估情境，兩者需要獨立的參數。在此兩個情境間，他區分了內容（content）與特徵（character）：內容是對所處脈絡中包含該表達式的語句所表達命題的貢獻，而特徵是將每個脈絡映射至該表達式在該語境中脈絡的函數。

Kripke 和 Kaplan 的成功例子背後，Williamson 指出，也要意識到並非總是可以透過新增參數來達到理論成功，這其實增加了過擬合的可能性。一個原因在於，語言現象是否已被正確描述，以及是否必須加入新參數才能解決問題並非顯而易見（Cappelen 與 Hawthorne 2009）。

一個測試案例是動態語義學（dynamic semantics）的研究計畫，其核心理念是：意義即脈絡變遷潛能。它具有很好的靈活性，但靈活性也是過擬合的警訊。Williamson 懷疑，目前它的解釋性還未有定論，但風險在於動態語義學最終可能成為過度擬合的另一種表現形式。

另一個測試案例則是條件句的語義學。為充分詮釋人類在自然語言中運用條件句的複雜方式，語義學家們提出了多種複雜的語義與語用學解釋。但 Williamson 強調，人類評估此類條件句的主要啟發法，就是前述的假設啟發式，但該方法與語義學理論存在隱性矛盾。任何語義學都無法驗證我們使用「如果」的所有面向。

邏輯學的過擬合

Williamson 指出，認為邏輯學不需要資料，因此不會有過擬合問題，會是一個誤解。他的例子是 Hilary Putnam 的量子邏輯計畫，這個計畫普遍被視為失敗的嘗試。

目前的證據並未顯示邏輯原則便是自然語言規則，而將邏輯原則賦予特殊語言地位，在辯護某個概括性命題時幾乎毫無辯證價值。因為概括性命題若非邏輯原則，任何資料都可以用於對其提出反駁，如近代，研究者以認識模態動詞的語言學資料，質疑古典邏輯的多項基本原則（Holliday 與 Mandelkern 2023）。古典邏輯如果要說明這些資料為何有誤，必須提出解釋。

而非古典邏輯，則必須以資料契合度作為論證依據，因為它既不如古典邏輯簡潔，資訊量也不如它強大。更積極地說，邏輯法則的提出之所以獲得支持，就在於它能從大量主題各異的實例中識別出共通結構模式，並透過將所有實例歸納至單一啟發性概括而實現統一。

同樣地，對於諸多模態運算子的詮釋而言，哪些模態邏輯原則具有有效性仍不明確——尤其當模態運算子嵌套於更深層模態運算子的作用域時。解決此類問題至少部分取決於資料擬合（Ripley 2016），我們的目標是對資料進行最佳解釋推論。

邏輯領域出現的過擬合現象與語義學領域所見的現象具有某些相似，因為邏輯推論通常是透過對語義模型的概括化來定義：每個前提為真的模型中，結論亦為真。某些非古典邏輯對此主題進行了變體演繹，一方面，可以透過新增參數改變模型類別，至少對於語義敏感的連詞而言，改變邏輯後果關係。另一方面，可擴展既有參數的取值範圍，來提升靈活度，如三值邏輯、四值邏輯、連續值邏輯等。對話美德亦可透過在模型中添加新參數，融入邏輯後果的定義。或許有人會提出禮貌邏輯，其模型設有禮貌參數。

對古典邏輯的修正往往被詮釋為賦予其更大靈活性，但也通常可以獲得作為特例而重新獲得。例如，將直觀主義邏輯的 Kripke 模型限制為僅含單一狀態的模型，使其回歸至古典邏輯。

古典邏輯在兩千五百年取得的成功，成為對非古典邏輯提倡者的巨大挑戰。某種邏輯觀認為，邏輯必須在科學或形上學的實質爭論中扮演中立仲裁者的角色。此觀點傾向支持弱邏輯體系，因其在更多問題上保持中立。邏輯體系的強大往往會削弱其中立性。然而，此觀點終究站不住腳，因為任何提出的邏輯原則都可能遭受科學或形上學的質疑，因而無法在這些科學或形而上學議題上保持中立，否則這將導致它過度貧乏。

弱化邏輯意味著力量的喪失而非簡潔性的流失；而在自然與社會科學領域，過擬合常伴隨著簡潔性的喪失而非力量流失。然而在實踐中，邏輯弱化通常也伴隨簡潔性的損失。替代邏輯模型通常同時承受兩種最糟情況的弊端，因此在自然科學與社會科學領域中，其表現甚至比普通的過擬合更糟。

哲學模型建構中的過擬合

科學家所謂的模型建構，指的是一種中介物件：它比目標現象本身更容易研究，卻在結構上與目標現象足夠相似，使人能從模型的行為推知目標現象的某些特徵。模型幾乎總是遠比目標現象簡單，例如把行星模擬成一個點質量。這種簡化不是模型建構的缺陷，而是它得以運作的條件：沒有這樣的簡化，模型在數學與計算上都難以處理。模型建構因此和「尋找無例外定律」這個舊有的科學進步典範不同：新模型的進步，在於捕捉舊模型所捕捉的一切、外加更多，卻不致喪失數學或計算上的可處理性。

Williamson 主張，這種方法論對哲學特別有價值，因為人類世界極其混亂複雜——「人性這根曲木，做不出任何筆直的東西」——而哲學研究的絕大部分，正是人類世界：人類的心靈與身體、知識與行動、思想與語言、道德與政治，以及人在變化與反事實變異中的同一性。這類現象更適合以模型建構來處理，而不是去尋找無例外的定律。

模型建構方法論其實已經在哲學的部分領域廣泛使用：形式知識論裡的貝氏機率模型、知態邏輯與信念邏輯的模型，以及倫理學與政治哲學裡借自決策論、賽局論、義務邏輯與投票理論的模型。但 Williamson 觀察到，多數哲學家對這套方法論相當陌生，甚至有所誤解：許多人只要發現模型的簡化假設為假，就把這當成拒絕整個模型的充分理由；大多數哲學研究生既未被鼓勵建立或使用模型，也沒有受過相關訓練。

他舉知態邏輯與信念邏輯在二十世紀主流知識論中被邊緣化的歷史為例。標準的知態邏輯模型會認可一種很強的邏輯全知：只要一個人知道某個有效論證的前提，他就自動知道結論，不論他是否知道這個蘊涵關係成立，也不論他是否真的完成過這個推導。這種明顯不符合實際人類認知狀況的後果，被許多知識論者當成拒斥整個知態、信念邏輯研究的理由。後來的研究確實找到了避免邏輯全知的辦法，例如讓知識或信念的可及關係也能通向「不可能世界」，容許任何語句集合都成為某個不可能世界裡的真句集合。但這種修補要付出代價：它大幅增加了自由度，使建模者必須把主體的知識與信念「手動」填進模型，探索因而讓位給規定。模型建構原本能帶來的大部分收穫，也就跟著流失了。

Williamson 用自己一個研究中的案例，具體示範模型建構方法論如何揭露一個哲學原則背後隱藏的方法論代價。他討論的是「正面自省原則」，也稱 KK 原則：若一個人知道 P，他就知道自己知道 P。在知態邏輯的模型裡，正面自省在形式上對應知識可及關係的可遞移性。他舉的例子是：從遠處看一個沒有刻度、只有一根指針的鐘面，猜測指針指向何處。透過觀看，人可以得知指針位置的部分資訊，但不是全部。在描述這種情境最簡單的知態模型裡，正面自省會嚴重失敗，這一點很容易證明。正面自省的支持者可以用稍微複雜一些的模型來逼近這個情境：任意選取一個較粗的知態可能性分割，以此決定模型中的可及關係，使正面自省成立。

但 Williamson 進一步證明：任何能驗證正面自省的模型，都要付出一種對稱破缺的代價。鐘面情境的基本設置——指針所有可能的位置——本身帶有一種對稱性，由鐘面繞其中心的旋轉對稱所引發。可以證明，如果一個知態模型尊重這種對稱性（模型底層的知態結構在模型的「旋轉」下保持不變），並且滿足一些基本的知態限制（既不允許對指針位置的懷疑論，也不允許對指針位置的全知），那麼這個模型就會違反正面自省。對稱破缺不只是不優雅，它是特設闖入的徵狀：它等於是在鐘面圓周上的某一點與另一點之間，設定了基本設置本身並未要求的知態結構差異。現實中的情境或許不完美對稱——人類的視覺系統可能本就帶有些微的偏側傾向。但一套知識論理論若要事先堅持：一個結構上並未強加任何偏側的情境裡，必定存在這種偏側，看起來就是選區劃分式的操弄。具體而言，指定偏側的方向會需要額外一個自由度。模型建構方法論因此反對對稱破缺，也就是反對正面自省：若要在這個案例裡拯救正面自省，就必須過擬合。

這不代表所有的知態模型都必須否證正面自省。在探討共同知識這類人際效應時，同時容許正面自省與更不可信的負面自省（若一個人不知道 P，他就知道自己不知道 P），往往有充分的方法論理由。重點在於：模型建構方法論不是要人盲目接受或拒絕某個哲學原則，而是要求人辨認出，接受它所需要付出的具體代價是什麼。

第二章的結尾重申了這一整章的規範性結論：過擬合是一個陷阱，太多哲學家已經落入其中，或主動跳入。雖然難以確知自己是否正在過擬合，仍須對這種危險保持警覺；為此，哲學應該像其他學科一樣，對簡潔性與強度這兩種理論美德賦予更多一些的比重，並對那些誘使我們把理論複雜化、弱化的資料，抱持比以往更少一些的信任。

超內涵性個案研究

第三章是一則個案研究，檢驗「超內涵革命」是否也是一次過擬合。流行的敘事是：早期分析哲學——從 Frege 到 Quine——在一個粗粒度的外延式框架裡工作；1960 年前後，Kripke 等人以可能世界為基礎，把這個框架換成更精細的內涵式框架，是為「內涵革命」；晚近，Fine 等人的工作又把內涵式框架換成訴諸立基等形上學關係的、更精細的超內涵式框架，是為「超內涵革命」。外延語義處理外延：語句的外延是其真值，n 元謂詞的外延是滿足它的 n 元組。內涵語義處理內涵：語句或謂詞的內涵，是它在每個世界所擁有的外延。至於超內涵語義處理的是什麼，這個名稱本身並沒有說清楚。

支持超內涵革命的論證通常訴諸例子，而不是訴諸一套像可能世界語義學那樣技術強大、哲學豐碩的理論架構本身。其中最著名的例子來自 Fine 1994 年的〈本質與模態〉：

(1A) 蘇格拉底本質上是蘇格拉底。 (1B) 蘇格拉底本質上是 {蘇格拉底} 的成員。

只要願意用本質的語彙思考，人就很容易在理論介入之前，直覺判斷 (1A) 為真、(1B) 為假：(1A) 聽起來像套套邏輯，(1B) 卻像是多提了一件蘇格拉底本身以外的東西：他的單元集。然而，在集合的模態形上學標準看法下，「是蘇格拉底」與「是 {蘇格拉底} 的成員」必然等價；因此任何在標準內涵語義框架內運作的「本質即模態」理論，都會給 (1A) 與 (1B) 指派相同的真值。若 (1A) 與 (1B) 真值有別，「本質上……」這個運算子就是超內涵的。類似的例子還有以「因為」聯繫起來的真值命題對，以及 Sober 提出的三角形／三邊形因果案例。這些例子共同構成了支持超內涵框架的主要論證材料。

以下三節依序檢驗三種候選的超內涵語義架構：不可能世界、真理製造、Russell 式命題，各自要付出的方法論代價，最後一節轉向一個非超內涵的替代解釋：「為什麼？」啟發法。

不可能世界語義學

不可能世界語義學把可能世界模型的世界集合擴大，容許「不可能世界」存在：在這些世界上，語言連接詞的標準語意子句不適用，語句真值不受一致性限制。以反事實的反可能句（前件為不可能的反事實條件句）為例：

(7A) 若 7+5 為 13，則 7+5 為 13。 (7B) 若 7+5 為 13，則 7+5 既為 13 又不為 13。

人們自然傾向判斷 (7A) 真、(7B) 假：在「7+5 為 13」的反事實假設下，人接受這個假設本身，卻拒絕接受一個矛盾。但標準的內涵語義——無論 Stalnaker 或 Lewis 的版本——都會把兩者判為虛真，因為前件在所有世界都不成立。不可能世界語義學則可以輕易驗證 (7A)、否證 (7B)：只要在某個最接近實際世界、「7+5 為 13」為真的不可能世界裡，「7+5 既為 13 又不為 13」不真即可。

但這個結果的代價很高。系統性語義學的指導原則是組合性：複合表達式的意義，由其構成成分的意義及組合方式決定。標準的不可能世界語義違反了組合性的精神。以否定為例：標準的語意子句「¬α 在世界 w 為真，若且唯若 α 在 w 不真」只適用於可能世界，不適用於不可能世界；於是存在這樣的模型：兩個原子句 p 與 q 在所有可能與不可能世界上真值皆同，卻在某個不可能世界上 ¬p 真而 ¬q 不真。p 與 q 內涵相同，¬p 與 ¬q 的內涵卻不同：否定並不對內涵組合式地運作，就像一套另類數學，「x+y」的值不由 x 與 y 的值決定。

有人會退一步，只把不可能世界當作純工具，將句子的意義限定為它在可能世界上的內涵。這確實能恢復否定、合取、析取等真值函詞的組合性，卻恢復不了反事實條件句的組合性：(7A) 與 (7B) 的前件、後件分別擁有相同的限定內涵，整句卻不共享限定內涵，因為 (7A) 在實際世界為真而 (7B) 不真。Berto 與 Jago 曾嘗試藉由一套假設性的「世界製造」語言來搶救組合性的字面，但 Williamson 認為，這只是「以蠻力達到組合性」：這種救援純粹是形式上的，不依賴物件語言運算子的任何具體特徵，因此對物件語言本身毫無說明力。

不可能世界語義為了容納 (7A)／(7B) 這類判斷，付出的正是自由度暴增的代價：每個複合語句在不可能世界上的內涵，都必須「手動」寫進模型。Williamson 因此判定，不可能世界語義是邏輯與形式語義學中典型的過擬合案例。而 (7B) 為假這個原初判斷本身，正是假設啟發法所預測的結果：在「7+5 為 13」的反事實假設下，淺層處理直接拒絕「A 且非 A」，沒有把前件不可能這件事納入考慮，而這正是假設啟發法在反可能情境下已知不可靠之處。furze／gorse 這對同義詞進一步印證了這個診斷：

(8A) 若 furze 不是 gorse，furze 就不是 gorse。 (8B) 若 furze 不是 gorse，furze 就不是 furze。

人們同樣傾向判斷 (8A) 真、(8B) 假，不可能世界語義也能驗證這個判斷。但這意味著單純替換一個同義詞，就能把真的 (8A) 變成假的 (8B)，暗示這套語義其實是以隱含的後設語言方式在處理反可能句。Williamson 的結論很直接：不可能世界的架構是糟糕的科學。

真理製造語義學

比不可能世界更節制的超內涵語義架構，訴諸真理製造。Williamson 聚焦 Fine 發展的版本，因為它代表目前最先進的形態。在這套語義裡，語句的意義由一組使真項與一組使假項構成：使真項是一個若成立便會使該語句為真的狀態，使假項則相反。不同於世界，狀態通常是局部的、部分性的，具有部分學結構：任何一組狀態都有一個融合，即以它們全體為部分的最小狀態。使一個合取式為真，需要使每個連言支都為真，所以 α∧β 的使真項，是 α 的使真項與 β 的使真項的融合；但使一個合取式為假，只需要使某一個連言支為假，所以 α∧β 的使假項，就是 α 的使假項或 β 的使假項。析取的情況對稱：使析取式為假需要每個選言支皆假，使真只需其一為真。否定的處理也很順暢：¬α 的使真項就是 α 的使假項，¬α 的使假項就是 α 的使真項。這套語義是組合性的，這一點與不可能世界語義不同。

它之所以是超內涵的，在於必然等價的語句有時擁有不同的使真項或使假項：α∧α 與 α 可以有不同的使真項，因為重複本身在邏輯上有意義；α∨(α∧β) 與 α 雖然真值條件相同，卻常常擁有不同的使真項與使假項：若 α 與 β 主題全然無關，α 的使真項就不會把 β 的使真項當作部分。Fine 認為，捕捉這種主題差異正是真理製造語義的設計目標所在，不是意外的瑕疵。

但這套架構也有自己的代價。首先，它把一個語句的使真項與使假項當成彼此準獨立：即使 α 與 β 擁有相同的使真項，¬α 與 ¬β 未必擁有相同的使真項。換言之，α 與 β 的使假項也可能不同。Williamson 用一個教學情境來說明這種準獨立性有多違反直覺：假設你正在學一門外語，老師向你解釋清楚是什麼會使某個原子句為真。你能不能反過來抱怨她：「你只做了一半的工作！你告訴我這個句子的使真項是什麼，卻什麼都沒告訴我它的使假項」？這聽起來很不合理：按照一般的語言標準，老師已經做得夠多，讓你理解了這個句子；你並沒有漏失一半的意義。通常，什麼會使一個語句為真，本就決定了什麼會使它為假。

其次，這套架構讓矛盾命題變得異常廉價：取任何一個實際成立的狀態 s，把 {s} 同時當作使真項集合與使假項集合，就得到一個完全合法的 Fine 式命題 ⟨{s}, {s}⟩，它既真又假，不需要借助 Russell 悖論、說謊者悖論等獨立論證。Fine 本可以提出一條「互斥性」限制——沒有任何使真項與某個使假項相容——來排除這種命題，但這麼做要付兩重代價：其一，Fine 自己主張這套架構的一大優點正是不必在可能與不可能狀態之間預先劃界，一條模態限制違反了他自陳的立場精神；其二，這條限制本身就是在為架構增添更多複雜性與自由度，加劇過擬合的風險。

Fine 自己也提出這套架構的兩個版本：以上描述的是雙價版本，同時記錄使真項與使假項；他另外提出一個單價版本，只用使真項，改為引入一條原始的「狀態間排斥關係」來處理否定。單價版本付出的代價是：它無法再把「¬¬α」與「α」處理成表達同一個命題，這在簡潔性與強度上都是損失。Williamson 的總結是：真理製造語義比不可能世界語義受約束得多，但仍然不夠受約束。

Russell 式命題

第三種候選架構，靈感隱含來自句法：一個直述句表達的命題，擁有與該句子句法構成結構相仿的整體構成結構。對 Russell 式命題而言，構成項更加「屬世」：是語句所談論的物件、性質與關係本身，而非它們的概念。這套架構的核心原則是細粒度原則：若運算子 O 作用於輸入 C₁,…,Cₘ 的結果，等於運算子 O* 作用於輸入 C₁,…,Cₙ 的結果，則 O = O*、m = n，且對應輸入逐一相同。換句話說，運算子的輸出不只由輸入唯一決定，也反過來唯一決定輸入。

不幸的是，這個原則在自然的背景假設下並不一致，最著名的理由是 Russell-Myhill 悖論：對任一命題複數 pp，可以定義運算子 Oₚₚ，使 Oₚₚ(q) 表示「q 是 pp 之一」這個命題。對任兩個外延不同的命題複數 pp 與 pp*，總存在某個命題 q 使 Oₚₚ(q) 與 Oₚₚ*(q) 真值不同，因此 Oₚₚ ≠ Oₚₚ*；由細粒度原則，對任一給定命題 q*，Oₚₚ(q*) 與 Oₚₚ*(q*) 也是相異命題。於是「命題複數→命題」的映射是一對一的，命題的數量至少等於命題複數的數量；但根據 Cantor 對角論證，命題複數的數量嚴格多於命題的數量。矛盾。

問題不只出現在悖論層次，連最基本的定義都會出錯。例如把雙條件句定義為 (p↔q) = ((p→q)∧(q→p))，套用細粒度原則就會荒謬地推出 ↔ = ∧、p = (p→q)、q = (q→p)：當 p、q 為假時，它們會被錯誤地等同於為真的 (p→q) 與 (q→p)。必然算子的標準定義 ◽p = ¬◊¬p 也會產生類似後果，推出 ◽ = ¬。有人可能會辯稱，這類定義只給出運算子之間的等同，而非命題之間的等同，並訴諸 λ 抽象來重新表述，例如 λ↔ = λpq.((p→q)∧(q→p))。但 λ 算子的核心行為由 β 轉換原則規範：把已抽象的算子重新套用到同一組變元，會還原回原式；把這條原則套進上述定義，仍會導出原本要迴避的荒謬等同。要迴避這個結果，就必須拒絕 β 轉換。但 β 轉換正是 λ 算子的核心規範，沒有它，λ 究竟做了什麼，也就無從理解。

同樣的問題也出現在命題的疊代建構上：若定義運算子的組合 O₁,₂p = O₂O₁p，套用細粒度原則會推出 O₁,₂ = O₂、p = O₁p，也就是說只有當 O₁ 完全不起作用時，運算子才能組合，這使得疊代建構命題的機制整個崩潰。改用一個比等同弱一些的等價關係 ≈ 來鬆綁上述定義，看似能全身而退，但 ≈ 本身缺乏獨立的解釋；若把它理解成必然等價，又會違背超內涵論者的初衷。而且，只要另外定義一個運算子 R，使 ROp ≈ ¬OOp，取 R = O 的特例就會推出 RRp ≈ ¬RRp，這是一個古典矛盾。

有人可能會問：Carnap 1947 年提出的「內涵結構」，不正好滿足細粒度原則，是結構命題的一個現成模型嗎？Williamson 的回應是：內涵結構所編碼的運算子，是作用在內涵之上的運算子，而不是作用在內涵結構本身之上的運算子。結構是寄生於內涵的。這就像把「2+2」對應到有序三元組 ⟨+,2,2⟩：這個三元組編碼了加法，但那仍然是數的加法，不是有序序列的加法，⟨+,2,2⟩ 本身並不是數字 4，正如 ⟨+,3,1⟩ 也不是。無論命題究竟是什麼，它們都無法以完全一般的方式編碼作用於命題之上的運算子，因為那需要同時滿足細粒度原則與組合原則，而這是不可能的。Williamson 的總結是：以半細粒度的方式修補這套架構，承諾的是更大的複雜性，卻沒有相稱的收穫，是某種半心半意的過擬合。

「為什麼？」啟發法

以上三種候選架構各自的方法論代價，讓 Williamson 轉向一個非超內涵論者的替代解釋：許多支持超內涵性的前理論判斷，其實出自一個可錯的啟發法。「A 因為 B」自然地被理解為，把「B」當作「為什麼 A？」這個問題的答案；於是有一個「為什麼？」原則：若你認為「B」是「為什麼 A？」的好答案，就接受「A 因為 B」，反之則拒絕。由於這個原則並非完全可靠，Williamson 把它改稱為「為什麼？」啟發法。

以 Aristotle 已經注意到的一對語句為例：

(9A) 「雪是白的」這個命題為真，因為雪是白的。 (9B) 雪是白的，因為「雪是白的」這個命題為真。

前理論的判斷是 (9A) 真、(9B) 假，但在命題真理的標準看法下，「雪是白的」這個命題為真，若且唯若雪是白的。兩者必然等價。把 (9A)、(9B) 改寫成問答形式：(9A) 對應「為什麼『雪是白的』這個命題為真？——因為雪是白的」；(9B) 對應「為什麼雪是白的？——因為『雪是白的』這個命題為真」。前者的解釋從簡單、熟悉的事實推向複雜、陌生的命題談法；後者方向相反。「為什麼？」啟發法因此正確預測了我們對這組語句的偏好，不需要訴諸任何形上學上的解釋方向。

furze／gorse 這對同義詞提供了類似的證據：

(11A) furze 和 gorse 一樣多刺，因為 furze 就是 gorse。 (11B) furze 和 gorse 一樣多刺，因為 furze 就是 furze。

人們同樣傾向判斷 (11A) 好、(11B) 差，但兩者的差異純粹是替換了同義詞，並不對應任何實際的形上學差異：furze 和 gorse 本就是同一種灌木。Williamson 也用一組合取／析取的例子強化同一個模式：「這顆球是圓的，因為它既圓又紅」聽起來比「這顆球既圓又紅，因為它是圓的」更彆扭，儘管後者在邏輯上等價，恰恰因為解釋通常由簡單推向複雜，而非反過來。同一個模式也適用於 α∨(α∧β) 與 α 這一對：真理製造語義學正是拿這對語句的解釋方向差異，論證兩者該有不同的使真項；「為什麼？」啟發法卻能不靠任何額外的語義架構，直接解釋同一個差異。

「為什麼？」啟發法也能重新解釋 Sober 的三角形／三邊形案例。想像一間學生餐廳，只要有人拿了十二件或更多水果，警報就會響起。比較兩段對話：「為什麼警報響了？——因為有學生拿了 7 顆蘋果和 5 顆橘子，所以拿了 7+5 件水果，而 7+5=12」，以及「……所以拿了 6+6 件水果，而 6+6=12」。前者顯然是更清楚的解釋，但這不需要 7+5 與 6+6 是兩個不同的數字。同理，「三角形」比「三邊形」更能提供令人滿意的因果解釋，不是因為「是三角形」和「是三邊形」是兩個不同的性質，而是因為輸出圖形的機制實際運作在角的層面，而說英語的人也更習慣把「三角形」和「有三個角」聯繫在一起。

最後，「為什麼？」啟發法回頭處理了 Fine 的招牌案例 (1A)／(1B)。雖然這兩個語句本身不含「因為」或「為什麼」，但 Fine 用來動機這類例子的本質論，在精神上承接了 Aristotle 式的傳統：本質被視為解釋的起點。若本質不能扮演任何解釋角色，它們還有什麼特別之處？以此為準，解釋方面的考量自然與 (1A)、(1B) 相關：面對「那個人為什麼老是在街上纏著人講話？」，「他是蘇格拉底」顯然比「他是 {蘇格拉底} 的成員」是更好的解釋起點，因為後者引入了一個不相干的複雜項。一個較不平凡的版本是「蘇格拉底本質上是人」對「蘇格拉底本質上是人類集合的成員」，後者同樣因為引入集合而使解釋變得更複雜。但問題始終在於：這種解釋形式上的差異，是否對應著非語言內容上的真實差異？既然前面的例子已經顯示，我們很容易被解釋形式的差異，錯認成非語言內容的差異，Fine 的例子就遠遠稱不上決定性。

Williamson 最後的診斷是：把這麼多形上學讀進解釋的語用學裡，是一個典型的過擬合案例。前理論的判斷未經檢視地被當作反駁內涵論、並用以支持自由度大幅增加的超內涵理論的證據；由於哲學家沒有把自由度暴增看作嚴重的代價，他們樂於照單全收這些資料，並在理論裡容納它們，不覺得有必要更仔細地檢視資料、排查潛在的錯誤來源。結果，那些最在意要把形上學實在與語言表象分開的人，反而變得最容易把表象誤認為實在。