歸納推論沒有普遍的形式模板：這是 Norton 在《The Material Theory of Induction》全書的主張。每一次歸納推論的擔保（warrant）都來自該案例所處領域中的局部事實（local facts），這些事實須經經驗探究確立。第 4 章把這個主張施用於類比推論，論證分兩段：先摧毀形式進路（§4.2–§4.6），再給出材料進路的正面刻畫（§4.7），並提出三個案例。

對形式進路的批評

Norton 檢視的形式進路以 Hesse（1966）與 Bartha（2010）為代表。

對 Hesse 的批評有二。其一，Hesse 偏好物質類比（material analogy，即可觀察項之間的前理論類比）而排斥形式類比，這個限制過嚴：牛頓重力與庫侖靜電之間的類比是反例。兩者在可觀察層次上並不相似——質量恆正、重力恆吸引；電荷可正可負、可吸可斥——material analogy 薄弱。但兩者滿足同一條反平方律場方程，至多差一個源項（source term）的正負號，形式上幾乎同構，使高斯定理、位勢展開等解法可在兩個領域間直接互用，是物理學史上數一數二多產的類比。其二，Hesse 把垂直關係定為因果關係，但她對何謂因果的說明含混：她自己列出了休姆式相對頻率、假說演繹、模態、生產性等多種候選解釋，卻只說垂直關係是某種可接受的科學意義下的因果關係（Hesse 1966: 87）。一個形式的類比判準需要一個可用的形式因果理論，但該理論其實不存在。

對 Bartha 的批評是結構性的，也是本章最關鍵的一步。Bartha 的分節模型（articulation model）把垂直關係以推論詞彙刻畫：預測關係是 P 蘊涵 Q，解釋關係是 Q 蘊涵 P，功能與相關關係則以歸納關係說明。於是類比推論所傳遞的是一個以推論詞彙表達的性質。

This means the analysis is meta-logical, since the analogical inferences are performed at a higher level—that is, at a “meta” level—on lower-level structures that are in turn characterized by inferential properties. 這意味著該分析是後設邏輯的，因為類比推論是在較高層——即「後設」層——對本身以推論性質刻畫的低階結構執行的。（Norton 2021: 130）

由此得出雙重負擔：

If it is to give a formal schema for analogical inference, it must provide a schema for the analogical parts of the inference at the meta-level and also schemas for each of the lower-level forms of inductive inference. In short, it must solve the formal problems of analogical inference and also every other form of inference it invokes. 若它要給出類比推論的形式模式，它必須同時提供後設層上推論之類比部分的模式，以及它所援引的每一種低階歸納推論形式的模式。簡言之，它必須解決類比推論的形式問題，以及它所援引的其他每一種推論形式的問題。（Norton 2021: 130）

Norton 承認有一條簡便出路：對低階推論採取材料進路。那麼可由 P 歸納地推出 Q 只要求 P 與 Q 之間存在某個事實關係去擔保該推論，不預設普遍模式；被類比推論傳遞的就是這個事實關係，模型隨之失去後設邏輯性格。但他不走這條混合路線，而是直接轉向完全的材料進路。

正面主張：fact of analogy

材料進路有兩個概念。

第一是類比之事實（fact of analogy）：一個涵蓋兩系統的事實狀態，對應方式的具體樣態是該事實的一部分。它是局部的、逐案不同的。不存在普遍的自然齊一性原理，相應地也不存在普遍的相似性原理。

The fact of an analogy will require no general, abstract theory of similarity; it will simply be some fact that embraces both systems. There is no general template to which the fact must conform. 類比之事實不需要任何普遍的、抽象的相似性理論；它就只是某個涵蓋兩個系統的事實。不存在該事實必須符合的普遍模板。（Norton 2021: 131）

第二是由該事實所擔保的類比推論。我們知道一個系統的性質而不知另一個的，於是推測兩者間有某個 fact of analogy 成立；該推測的事實成為推論的擔保。若該事實被無條件且明確地持有，類比推論可以是純演繹的，全部的歸納風險落在接受該事實這一步上；若該事實帶有不確定或含混，推論才具歸納性格。

註 6 對相似性原理的反駁值得記下：任何類比的失敗都是該原理素樸表述的反例；真正的原理必須分開可投射與不可投射的相似性，而給出這樣的原理與找到類比的形式理論是同一個問題，Norton 主張該問題無解。

相似性不是做工的東西

Norton 主張，fact of analogy 不能只斷言兩系統相似：它必須斷言第二個系統的某個事實性質，該性質足以擔保對其性質的推論（Norton 2021: 132）。因此在材料分析中，兩系統之間的相似性反而較不重要，相似性毋寧更像是表達上的方便。類比之事實所表達的，與其說是源系統與標的系統之間的粗糙相似，不如說是兩者共有的一個性質；驅動該推論的是標的系統擁有該性質這一事實，而非它與源系統的相似（Norton 2021: 132）。

Galileo 的例子用來說明相似性只是表達方便：要說清楚月面暗形如何是高聳突起在陽光直線傳播下的遮蔽，語句冗長；說它們就像地球上山的影子則輕便。做工的是遮蔽機制這條事實，不是「像」。

推論強度的評估相應改變：不去精煉形式原則，例如正類比與負類比如何權衡的一般指引，而是對 fact of analogy 做經驗探究。知道得更多，就推得更好。

案例

三個案例：Galileo 對月球山的發現、流體力學的雷諾類比（Reynolds analogy）、原子核的液滴模型。

Galileo 與月球山

Galileo（1610）望遠鏡下的月球，明暗交界處不是平滑曲線，而是一條粗糙、波狀的線；隨交界線推進，亮點會先在其前方出現，逐漸擴大並與推進的邊界會合。Galileo 把這類比到地球上的山：日出前，山的最高峰先受陽光照亮，平原仍在陰影中；太陽升起後，平原與丘陵的照明才終於合而為一（Galileo 1610: 33，轉引自 Norton 2021: 133）。

控制性的類比之事實是：地球上與月球上，移動的明暗圖案由同一種機制生成，都是直線傳播的陽光造成的陰影（Norton 2021: 134）。這個事實一旦被如此陳述，接下來的推論都是演繹的：月球暗處出現、並在推進的亮邊前方逐漸擴大的亮點，是高聳、不透光的突起；其中最高的突起，高度可達四英里，這一步純粹是三角幾何的計算（Norton 2021: 134–135）。

但仔細檢視後，類比與相似性其實只扮演很小的角色。地球在論證中的功能只是「任何在單向光源下轉動的不平整物體」的一個方便替代品，Galileo 同樣可以用一顆在燈籠照射的房間裡轉動的人頭來設想：臉轉向光源時，鼻尖會先被照亮，才輪到整個鼻子。推論真正倚靠的不是類比，而是把月球歸入一個更大的類別，即受光照射而顯出明暗的物體（Norton 2021: 135）。演繹重建之外，Galileo 完整的分析其實包含歸納：從明暗點移動的方式推論它們是陰影，這一步是歸納的，儘管相當可靠；要看出它是歸納而非演繹，只需注意到它還需要一個額外假設，沒有其他機制能產生這種移動模式（Norton 2021: 135）。

雷諾類比

雷諾類比（Reynolds analogy）處理動量與熱的傳遞：熾熱氣體流經管道時，因與管壁摩擦而損失動量，同時把熱傳給較冷的管壁；核心主張是這兩個傳遞過程共用同一套機制（Norton 2021: 136）。較鬆的表述只說支配兩者的機制或定律相同，本身含糊；較精確的表述把「相同」化為兩個無量綱數之間的比例，摩擦因子 $f$（動量摩擦損失）與司丹頓數 $\mathrm{St}$（熱傳遞速率），令 $f/8 = \mathrm{St}$（Norton 2021: 137）。

這個事實授權的推論通常是從動量傳遞推到熱傳遞：已知摩擦因子 $f$，用類比之事實推得司丹頓數，再推得熱傳遞速率，這條路徑有實際效用，因為摩擦因子由壓力差就能測得，遠比熱傳遞速率好測（Norton 2021: 137）。這個類比夠不夠好，工程文獻不靠正類比與負類比的權衡規則決定，而是把 $f/8=\mathrm{St}$ 當成一個要用測量解決的經驗問題：結果是層流的液體與紊流的液體都不成立，只在紊流氣體中成立、且僅是相當粗略的近似（Norton 2021: 137）。

液滴模型

原子核由許多粒子構成，使人聯想到液滴由許多分子聚集構成；液滴模型建立在這個類比上（Norton 2021: 138）。1939 年，Meitner 與 Frisch 提出核分裂可以用液滴模型理解：中子被鈾核捕獲，可能足以像輕敲一顆不穩定的液滴那樣使其碎裂。

液滴聚合是因為構成分子彼此吸引，表面附近的分子受內部分子牽引，於是液滴傾向採取表面積最小的形狀，球形（Norton 2021: 138–139）。類比推論把這套機制搬到原子核：核的表面積隨核子數 $A$ 的 $2/3$ 次方變化，液滴模型據此假定一個與 $A^{2/3}$ 成正比的核能項；核的激發模態也被假定對應到液滴的振動模態（Norton 2021: 139）。核分裂的不穩定性也能定量分析：表面張力使核保持完整，核的正電荷則使核分裂，計算兩者相抵的臨界點，得出穩定條件 $Z^2/A < 42.2$；鈾-238 的 $Z^2/A = 35.5$，逼近這個臨界值，因而預期容易分裂，這向來被當成該模型的一大成功（Norton 2021: 139）。

Blatt 與 Weisskopf 在核物理專著裡列出這個類比的正類比與負類比清單：液滴與原子核的體積、束縛能都大致與 $A$ 成正比，且各自需要同一種 $A^{2/3}$ 加項修正，是正類比；但液滴的穩定性來自分子間的最小距離限制，核子之間沒有已知的類似限制，液滴分子遵循古典動力學，核子則受量子力學支配，是負類比。他們自己的評語是：這個類比很可能只是很表面的（Blatt and Weisskopf, p. 300，轉引自 Norton 2021: 140）。

他們評估這個類比的方式，同樣不是訴諸類比推論的一般規則，而是把模型導出的核能級公式拿去接受實驗檢驗：液滴模型在描述實際激發態上並不十分成功，所給出的能級間距過大；但在核分裂的表現較好，對抗核分裂的穩定性極限被很好地重現（Blatt and Weisskopf, p. 305，轉引自 Norton 2021: 141）。相似性在此又是次要的：起作用的是液滴與原子核共有的那些性質，不是兩者「像不像」（Norton 2021: 141）。

標記

本章未處理類比推論是否傳遞。Norton 亦未使用可廢止的（defeasible）一詞來刻畫類比推論；他的框架下，可廢止性表現為 fact of analogy 本身的可修正性。