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哲學家的天堂

如集合領域對數學家而言是天堂一樣，邏輯空間對哲學家來說也是天堂。Lewis 認為，只要相信廣闊的可能性領域，能夠減少作為原始的概念的多樣性，改善總理論（total theory）的統一性和經濟性。模態實在論的代價是我們必須接受多重世界的實在，但這是怎樣的代價？它的好處又有哪些？這是 Lewis 在這本書中最大的關切。

模態實在論的應用：模態性（Modality）

無論說世界是實際的（actual）的是什麼意思，最好能確保我們所在的世界是實際世界。情況實際上如何，是世界能是的一種方式（a possible way for a world to be）。而其他世界是未實現的可能性。

如果有許多世界，並且世界能是的方式都是一些世界能是的方式，那麼無論情況會是怎樣，都會有一些世界可以是那樣。反過來說，因為假定沒有世界可以是世界不能是的方式，那只要在某些世界上是這樣，那就可能是那樣的情況。模態性就成為量化：可能存在藍色天鵝這樣的情況，就是指，對於某世界 $W$，在 $W$ 上有藍色天鵝。

除了量化以外，被量限的「在 $W$ 上」，作為修飾詞，影響了事物的量化範圍。此外，也影響了即便未明確量化，但分析上隱含了量化的表述的詮釋：定義性描述詞、可由此定義的單稱詞、類型抽象、複數和最高級形容詞等。

模態性往往是受限量化（restricted quantification），透過所謂「可達性（accessibility）」關係來限制。受限模態有許多類型，Lewis 建議我們可以可達性或對應關係來限制模態性。

要如何解釋模態運算子（$\Box$、$\Diamond$）？簡單版本是將加在開放表述前的模態運算子當成世界的量詞，並將涉及的個體 $R$ 當成本世界的一部分以及 $W$ 的一部分。Lewis 提出了一個較複雜的解釋：涉及的是 $R$ 在 $W$ 其中的複本（counterpart）。在該世界中，$R$ 於缺席中滿足（satisfaction in absentia）該開放陳述。

帶有模態運算子的語句確實有翻譯問題，我們可能會希望我們對此的解釋能滿足那些量化模態邏輯標準語言的公式。但 Lewis 建議，我們其實可以回歸模態實在論，直接使用模態實在論的資源來理解這些帶模態運算子語句的實際意義為何。

日常語言中，有著超出標準模態資源的模態片語。Lewis 認為，如果我們的模態涉及數字量化（三種不同說話方式的會說話的驢子）或是模態比較級（不同的有色事物相似程度不同），如果我們有其他世界的事物可以來進行量化，事情會變得比單純以標準模態或其擴充來處理好很多。

另一個不容易用模態運算子處理的概念是隨附性（supervenience）：當不可能存在 $A$ 差異卻不存在 $B$ 差異時，就出現了隨附性。這定義看似簡單，卻沒有令人滿意的分析。Lweis 舉了三個例子來展示為什麼這個等價性的定義難以成立：

例子一：點陣圖具有整體性質（global property），像是對稱性等，但圖片實際上就是點和非點構成。沒有兩個圖片能在整體性質上不同，但點與非點的構成完全相同。

例子二：世界有自然法則、機遇性和因果關係，而世界只是一個個的局部質性特徵點。兩個世界有可能法則有所不同，但局部質性特徵完全相同嗎？

例子三：一個人可以有一系列的態度和經歷，然而或許他的一切都只是物理例子的排列，並按照物理法則相互作用。心靈是否隨附於物理？這裡可以有兩個區分：(1) 狹義的心理物理隨附性：兩個人是否在心靈上有所不同，但在物理上完全相同？(2) 廣義的心理物理隨附性：兩個人是否在心靈上有所不同，但人和環境在物理上都完全相同？

隨附性的上述分析表明了模態性。如果將可能理解成模態運算子，這也就是說，不會有某個世界 $W$，使得兩件事情在一方面有差異但在另一方面沒有。這樣表達隨附性足夠嗎？在點陣圖、狹義心理物理隨附性的例子中，是成立的。

但在廣義心理物理隨附性時，卻不夠充分。因為我們關注的並不是在一個世界中的兩個人和其環境是否有某種物理差異，也關注在兩個不同世界中的兩個人之間的差異，但這在以「可能」進行分析時已經扭曲。另一個例子是法則的隨附性。我們考慮的法則，從單一世界中的質性特徵分佈是看不出來的，我們要關切的是關於兩個世界在局部質性特徵分佈不同時會不會有相同法則。

Lewis 認為，這說明我們需要的是模態性，而非語句的模態運算子。

考慮這些模態邏輯系統的不同公理：

• (B) 如果 P，那麼必然可能 P。
• (4) 如果必然 P，那麼必然必然 P。
• (E) 如果可能 P，那麼必然可能 P。
• (T) 如果 P，那麼可能 P。

以一個最小的基本系統 K，顯示 (E) 可以從 (B) 和 (4) 推出，但這並不直覺。Lewis 認為這可以這樣說明：一個關係框架由一個非空的索引集和索引集上的二元關係 R 而組成。對一個模態邏輯系統的語言進行賦值，可以這樣做：

• 「必然 $\phi$」在 i 為真，若且唯若 $\phi$ 在所有 iRj 的 j 為真。
• 「可能 $\phi$」在 i 為真，若且唯若 $\phi$ 在一些 iRj 的 j 為假。

因此我們就可以將上述的公理對應到關係框架的條件。可以顯然看出 (E) 是怎麼從 (B) 和 (4) 推出的：

• (B) 對應到對稱性：如果 iRj，則 jRi。
• (4) 對應到傳遞性：如果 iRj 且 jRk，則 iRk。
• (E) 對應到歐幾里德性：如果 iRj 且 iRk，則 jRk。
• (T) 對應到反身性：iRi。

模態實在論的應用：接近性（Closeness）

反事實或虛擬條件句邀請我們考慮在某個「反事實情境」中會發生的事，該世界部分由條件句的前件所指定，要求我們忽略無故偏離事實背景的世界，部分則未被指定。總體而言，我們考慮這樣一個世界，是一種理想化（idealisation），我們因此可以說，「假若 A，則會是 C」這個反事實條件句為真，若且唯若在選定的 A 世界中 C 為真。更一般來說，這個條件句在世界 W 中為真，若且唯若再從 W 出發選定的 A 世界中 C 為真。

反事實的概念和因果關係一樣核心。假設兩個完全不同的世界 C 和 E 發生，如果 C 沒發生，E 也不會發生。如果事件 E 如此依賴事件 C，那麼 E 因果依賴於 C，C 是 E 的原因。這樣的分析無論是否成功，還是能看到反事實和因果關係緊密相連。如果可能世界能有助於處理反事實，那也有助於處理許多重要思想的部分。

Risto Hilpinen 認為，接近性也可以用來說明錯誤的自然理論為何可以有不同的真理相似性（truthlikeness）或逼真度（verisimilitude）：理論接近真理的程度取決於我們的世界與該理論為真的世界的接近性。

要如何分析接近性？是非測驗（true-false quiz）可能不是一個好的框架，我們難以根據出題和回答（是/非/拒絕回答）來加權算分。

Hilpinen 的提案是這樣的，理論 T 在可能世界空間中定義了一個區域，一個所有 T 世界的類型，而所有真理的整體定義了我們的世界的單元類型。有三種方式可以根據相似距離來對區域做比較：(1) 大小：T 世界的區域越小，它就越像由真理定義的區域。(2) 形狀：T 世界的區域越緊湊，他就越像真理點。(3) 分離：T 世界的區域與我們世界的最近距離。

模態實在論的應用：內容

模態可能包括認識論和信念的必然性與可能性，Lewis 認為這也可以透過對可能世界的限制性量化來解釋。他認為我們可以用可能世界來描繪思想內容：

• 一個人對世界的認知內容，由他在認知上可訪的（epistemically accessible）世界類型給出。一個人對世界的認知內容，由他認知上可訪的世界類型給出。這些世界對他來說可能是他的世界，在不知道如何排除 W 是他的生活世界的假設時，世界 W 就加入這些世界之一。
• 同樣，他對世界的信念系統的內容，也是由信念上可訪（doxastically accessible）的世界類型給出，當他不相信能夠排除 W 是他的生活世界的假設時，W 就加入其中之一。

信念上可訪的世界提供一個人對世界系統的信念，但並非所有信念都關於世界。其中有一些自我中心的信念，或說關於「不可化約的自我（irreducibly de se）」的。對此，Lewis 提出的論證是這樣的：如果有一個人對於世界有完整的信念，因此只有一個世界對他來說是可訪的，但他依然有些問題可能沒有意見。譬如如果他認為自己生活在永恆循環的世界，每個世代的歷史都會重複，但他不知道自己是那個世代的哪一個「可能是他的人」。如果他確定他其實其中某一個，他有新的對於自己在世界的哪裡的信念，但關於世界的信念沒有增加。

關於自我中心信念的內容，應該透過可能個體的類型而非世界類型來描述其內容，即相信者的信念替代者（doxastic alternative）。一個個體 X 是一個信念替代者的條件是，相信者可採信的所有東西都不排除他是 X 的假設。這些個體不是世界能是的方式，而是個體能是的方式。

一個世界居民需要居住一個世界中，這可能是一個特定命題成立的世界。因此，如果某個人的所有信念替代者都居住在特定命定 A 成立的世界中，那他就相信自己居住在一個 A 世界中。因此我們可以說，它相信命題 A。這是一個以世界信念呈現自我中心信念的特殊案例。

一個人可能在不同時間擁有不同的信念系統。Lewis 認為，一個人以他在不同時間的相異瞬時階段（ momentary stage）組成來通過時間持存（persist through time）。那麼他可以說，各階段有各信念體系，連續的人在特定的時間在某時擁有一個信念體系是由他有在有一個信念體系的該時的階段所決定的。

我覺得瞬時信念階段的理論是錯的。

他認為，如果我們將信念主體視為瞬間的，那就可以將關於現在是何時的信念，當成是自我中心信念的特殊案例。如果該階段的信念替代者包括所有位於 1985 年 3 月 11 日中午左右的各個個人階段，那個就是他在該時刻對時間的信念。相反地，如果該階段替代者包括不同時間的各個階段，那就代表他在當時不確定是何時。

我們似乎有理由承認一個人可能擁有多個信念系統。在某程度上，我們都雙重思考者：我們根據不同的問題、選擇、關注主題而有不同的思考方式。信念是被隔離和碎片化的。他同時對兩系統都有傾向。

如何使得一個信念語句成立，Lewis 歸納了幾種不同方式：

• 涉及信念可訪的世界。他的信念替代者都居住在怎樣的世界。
• 只涉及信念替代者本身。他的所有信念替代者都有某個相應特性。
• 透過親知關係（relation of acquaintance）來將某個屬性歸屬給某個自己之外的事物。
• 涉及接受一個語句，以至於將某個屬性歸屬給一個事物。

對 Lewis 而言，信念內容的界定主要是由信念—慾望心理學所確定的。人們傾向於以符合他們信念的方式行動以滿足其愚妄，這種工具理性原則並非是描述性的也非規範性的，而是信念的構成要素（constitutive ）。即便這構成要素或許並不是唯一的，亦即或許理性有其他部門也可能具有構成性作用。

對於 Lewis 來說，這類內容是在許多不同世界的主體中反覆出現的狀態（或許是大腦狀態）。該狀態會傾向讓有該狀態的人表現出某種合理內容所分配的行為。因此，可以說這種狀態就是具有該內容的信念—慾望系統。

除了與思想的連結，Lewis 認為，可能世界與個體也對語言分析很重要，尤其在為自然語言建立語法學和語義學的系統化文法的目的上。這樣的文法被正確插入其插槽時，會是對語言使用社群的語言實踐的準確說明。當語言用來傳遞訊息時，有些語義詮釋會讓一句話為真，有些則為假。對於該語句的正確解釋，涉及到特定的真值條件，才有辦法在語言使用的說明中正確插入其插槽。Lewis 認為，為此，語義詮釋的文法必須指定在哪些世界能夠真確地表達該語句。

Lewis 提出了一種實現方式，首先可以列出有限的基本表達的詞彙表，並為詞彙分配語法類型和語義值。接著列出新表達式的建構規則，再函式地給出新表達式的語法類型和語義值。語句會是一個語法類型，可以根據它們的語義值為語句指定真值條件。語義值能夠生成其他語義值，而它也能生成語句的真值條件。

這裡有兩種策略，第一種 Lewis 稱之「外部策略」，將語境依賴性放在語義值的外部，讓從詞彙開始的語義值分配都和說話者相關，可能性在與說話者相關的設置中引入。我們首先有該說話者每個單詞的語義值，根據語法規則，生成該說話者表達的語句的語義值。對於該表達式，句子對於說話者的語義，以某種方式決定它是否為真。極端的外部策略會認為語義只有真值。

內部策略則相反，所有的語境依賴性都在語義值之中。在這樣的情況下，可能性會進入語義值的構造本身裡頭，才能確定一個語句對於其他說話者而言如何為真。Lewis 認為這種作法更加一勞永逸。比較溫和的外部策略可以接受兩種策略的混用。

考慮一個微型語言。範疇語法有三個範疇，一個基本範疇，兩個衍生範疇：語句、修飾詞、連接詞。它們都有其基本表達式。語句的語義價值先擱置；修飾詞是從語句的語義值到語句的語義值的函數；連接詞的語義值是從一對語句的語義值到語句的語義值的函數。包含兩個文法規則：

• 修飾詞規則：如果 $S$ 是具有語義值 $s$ 的語句，$M$ 是具有語義值 $m$ 的修飾詞，那麼 $MS$ 是具有語義值 $m(s)$ 的語句。
• 連接詞規則：如果 $S_1$ 和 $S_2$ 是具有語義值 $s_1$ 和 $s_2$ 的語句，$C$ 是具有語義值 $c$ 的連接詞，那麼 $C S_1 S_2$ 是具有語義值 $c(s_1, s_2)$ 的語句。

考慮「可能」這樣的修飾詞，會發現極端外部策略會失敗，當語句的語義只剩下真值，會丟失該語句在說話者自己的世界外的世界的真值訊息。語義值是一個訊息包裹，如果丟失了無法取回，就無法進一步定義新的表達式的語義值。

考慮更溫和的外部的策略方案。將語句的新語義值定義成世界到真值的函數。對一個說話者來說，一個語句為真，若且唯若其語義值為該說話者在其世界中分配了真值。修飾詞和連接詞的語義值是一個函數，從語句的語義值對應到語句的語義值。這樣的定義可以更好地處理「可能」：

• 「可能」：對任何說話者來說，它的語義值是從 $f$ 對應到 $g$ 的函數，若且唯若 $f$ 和 $g$ 都是從世界到真值的函數，並且要嘛 $g(W)$ 在所有世界為真且 $f(W)$ 在一些世界為真，或是 $g(W)$ 和 $f(W)$ 都在所有世界為假。

隨著我們語言中有越來越多的修飾詞，語境和語義值的關係可能越來越複雜，一開始是世界到真值，後來還有世界—時間到真值，可能還有世界—時間—邊界到真值等。他建議我們採納內部策略更合適。一個語句對於一個說話者而言為真，若且唯若其語義值將真值分配給該說話者與它所在的世界對。即便最終我們可以看到，這兩個策略並沒有明顯的分界。

模態實在論的應用：性質

Lewis 認為，如果要對性質進行量化，使用模態實在論可以提供一個方便的計劃。最簡單的是將性質作為實例的集合：在所有世界中的實例的集合。這樣的設計可以用於解決「偶然共延性質（accidentally coextensive）」的描述問題。兩個不同性質可能在這個世界偶然有相同的實例，但它們無法籠統地有相同實例（have the same instances simpliciter）。

性質是如此，關係也是。一個二元關係的實例是一對事物的有序對，並將關係視為其實例的總體集合。

Lewis 將命題看成特定性質，亦由整個可能世界所實例化的性質。命題是一個集合的可能世界，或說命題在那些世界為真。而帶時態的命題，在一些時候成立一些時候不成立，可以看成時間的集合。而自我中心的命題則是可能個體的集合。

這似乎會讓我們的一些性質的意義沒辦法被區分，譬如「三角形性」和「三邊形性」，它們在所有可能世界都有相同的實例。

Lewis 將它們稱為「非瑣碎地共延的」，這代表性質上具有某種結構。Lewis 可以以這樣的方式建立：首先我們擁有無結構的性質和關係，它們所有世界實例的集合。假如 $A$ 是「是某物的角」的關係，而 $S$ 是「是某物的邊」的關係，$T$ 是一個高一階的關係，當個體性質 $F$ 是個體關係 $G$ 的性質，並且有三個事物與 $F$ 有 $G$ 關係時，$T(F,G)$ 成立。我們可以將三角形性的結構化性質視為 $(T, A)$，將三邊形的結構化性質視為 $(T, G)$。

對於命題，Lewis 認為作法也是類似。如果考慮命題具有的詞類組成結構或是組合語句的語法結構，僅僅將命題看成世界的集合是不夠的。我們可以依照類似的方式將命題結構化，來顯示兩命題為何有相容的外延但依然可以區分。

未結構化的是實例的集合或是世界的集合，Lewis 將它們稱之為「性質」、「關係」或「命題」，但和結構化的版本的「性質」、「關係」或「命題」並沒有競爭關係，這兩者都是模態實在論可用的資源，將哪個判斷為具有這些名稱的事物，只是術語上的選擇。

性質有些重大分歧——豐富的（abundant）/稀疏的（sparse），或非外在的（extrinsic）/內在的（intrinsic）——在系統哲學中難以忽視。

豐富性質依無限豐富的想像，可以無章的拼湊或分離，其數量遠超過我們任何語言的述詞能夠命名的範圍。稀疏性質則在關節處切割（carve at the joints），共享這些性質會產生質上的相似性（qualitative similarity），其數量剛好足以完整且無冗餘地描繪（characterise）事物。

假設我們有以集合論和可能性而來的豐富性質，那每一個稀疏性質也會有對應的豐富性質，可以說稀疏性質只是豐富性質的一小部分。當一個性質屬於這小部分時，Lewis 將它稱作自然屬性（natural property），即便只有少數性質是完美自然的（perfectly natural），有一些外在性質可能具有部分自然或是來自自然的衍生。

關係、命題因此可以類似觀點作出豐富或稀疏的區分，可以指定出關係的自然程度，由於它們與性質分類上是相同的，這樣的指定和區分是自動的。

所謂內在性質，是事物基於自身所是的方式而有的性質，而外在性質則是基於事物與其他事物的關係或非關係而有的性質。這該如何劃分？Lewis 建議，我們可以先劃分自然的和非自然的，然後說所有完美自然性質都是內在的。接著我們可以說，兩個事物是複製的充分必要條件是：(1) 它們具有完全相同的完美自然性質，及 (2) 其相對應部分具有完全相同的完美自然性質，並處於相同的完美自然關係中。接著說，所謂的內在性質，就是兩個複製之間永遠不會有差異的那種性質。

在關係中也可以有類似的區分。內在關係是依賴其相關項的內在本性的關係：若 $x_1$ 和 $y_1$ 處於某種關係，而 $x_2$ 和 $y_2$ 沒有，那麼 $X$ 和 $Y$ 之間必定存在內在本性上的差異。而如果兩個複製可以處於不同的關係，這個關係是外在的。此外還有第三種，這種關係不只涉及相關項，還涉及到世界的其他部分，譬如所有權關係會涉及到所有權制度，它不是內在的、也不是外在的。

Lewis 因此區分了複製和不可識別性。兩個事物是複製，即它們擁有相同的內在質性特徵，這是完美自然性質和其部分的完美自然外在關係的問題。而無法識別性表示它們具有相容的內在和外在的質性特徵。

Lewis 認為自然性質和怪異性質（gruesome properties）的區分對於其他分析是重要的，如果有必要，他願意將這區分視為原始的，除此之外，Lewis 認為 Armstrong 的內在共相（immanent universals）理論和 Williams 的殊質（tropes）理論，也值得考慮，但稀疏化的部分是 Armstrong 的。現在有三個選項：原始的、共相的、或殊質，Lewis 還沒決定三者中哪個比較好。

該兩個理論是這樣進行的：對於每個完美自然的性質，都對應到一個共相或殊質。無論性質在哪被例現（instantiated），都有對應的共相或某相應殊質存在。兩個理論的差異在於，對於共相理論來說，需要某些東西來為特定個體賦予特殊性，並將那些東西與共相相結合。Lewis 將這種結合稱為實例化（instantiation）。如果是殊質理論，實例化便不需要其他特殊的東西。

就如單一的共相或殊質可以用來指出完美自然性質一樣，多個共相或特性也可以用來指出完美自然的關係。

隔離性

一個世界有其部分，即可能個體。如果兩個事物是同一個世界的部分，Lewis 稱它們作「同世界者（worldmates）」。一個世界是其可能個體的所有同世界者的最大部分幾何學的合（mereological sum）。世界必須充分隔離，讓這個整體合不會涵括到其他世界的部分。

Lewis 的關於時空關係的表述是：對於任意兩個可能個體，如果一個個體的所有特定部分與另一個個體的每個不完全相同的特定部分都有時空關係，它們它們就是同世界者。進一步說，沒有事物能有跨世界的時空關係，即便它們能在時空意義上進行跨世界比較，譬如以複本理論比較其時空關係。

另一個問題是，是否一個世界能由完全不相連的時空所構成。Lewis 認為不能有這樣的可能世界，但可以有替代品：一個有不同類世界部分的大世界，這些部分都具有類似世界的特徵，並且其間也機會沒有或完全沒有因果互動。事實上，這些類世界都是某個世界的複本，都是一個世界可能所是的方式。

大世界可能有以下結構：

1. 大世界的時空可能有額外維度，讓類世界可能沿該維度分佈。
2. 類世界可能共享共同時空，但它們在因果上互相穿透而無法互動。
3. 時間可能不是實數結構，可能每個類世界都佔據一段唯一的時間，這些世界在時間上彼此相續，但時間度量上無限分離。
4. 時間可能有實數結構，但有無窮多類世界的時代。每個世界都只有有限時間，但對於該類世界的居民無法察覺，在無限的時間行進收斂到有限時間。

能不能可以有奇妙的精神居民存在世界上，以我們不習慣的方式和其他同世界個體發生有關係？Lewis 認為他可以容許。有沒有可能有空世界？Lewis 主張，即便可以有事物非常少的世界，沒有世界可以是一無所有的。空世界是部分幾何學的結構，而非集合論的結構。

接著 Lewis 考慮另一個反對，如果有一個世界的時空是牛頓時空，和我們所在的相對論時空，其中的時空關係有其關鍵的差異，那我們現在在談論的時空關係，是哪一種？Lewis 認為，他並不需要假設每個世界都有某種時空關係，但它們的部分都是透過某個關係系統相互關聯的，而這至少與我們所謂的時空關係有恰當類比，這些類比的點應該如下：

1. 該關係是自然的。
2. 該關係是彌散的（pervasive），若有關係鏈連接一個事物到另一個事物，它們之間便有直接關係。
3. 該關係是有辨別性的，它關聯到的所有事物，在其關係結構的位置來說，沒有兩個是完全相同的。
4. 該關係是外在的。

Lewis 因此將這樣的關係稱作「類比時空關係（analogically spatiotemporal relation）」。

但 Lewis 需要考慮「非同一性（non-identity）」這個關係，因為它符合上述標準，並且在不同世界的特定部分間維持不變。Lewis 認為，可以將它從我們選擇的自然關係清單中排除，因為我們有定義它的資源：$X$ 與 $Y$ 是非同一的，若且唯若存在一個類，$X$ 和 $Y$ 之一屬於該類，而另一個不屬於。

世界之間還可以有第二種隔離：世界對世界沒有因果關係。Lewis 認為有必要的話他可以把這個和時空隔離加在一起當成世界劃界的原則。但實際上，他認為只要對因果關係進行反事實分析，世界的因果隔離自動就會成立，因此這對劃界應該沒有貢獻。

具體性

Lewis 認為，根據模態實在論，那些在我們世界被稱作「具體」的事物，無論這個具體的意思為何，那至少有一些可能世界的至少部分會是「具體」的。

具體該如何解釋？可能有這四種方式，或是它們的混合：

1. 以示例區分：舉出各個具體的實體和抽象的實體來區分。
2. 以混合區分：具體與抽象實體的區別，僅是個體與集合的區別、或個別事物與普遍事物的區別、或特定個體與其餘的區別。
3. 以否定區別：抽象實體沒有時空位置、不參與因果互動、永遠不會彼此無法辨識。
4. 以抽象區別：抽象實體是從具體實體所抽象出來的，它透過某種方式消除特定性，使原始具體實體的不完整描述成為抽象的完整描述。

豐富性

Lewis 的模態實在論有這兩個核心主張：

1. 世界可能絕對所是的方式都是某個世界所是的方式，
2. 世界的部分可能絕對所是的方式都是某個世界的部分所是的方式。

在模態實在論中，為何要區分兩個相關實體：世界，和該世界最大限度具體存在的方式？這是因為經濟性原則要求將方式等同。但 Peter van Inwagen 指出，這會使得 (1) 和 (2) 都變得毫無內容，即便世界只有一個或是十七個，它也是真的。此外也沒有說明任何豐富性或完整性。

Lewis 因此需要對於這個「方式」的表達，使得這些方式足以表示出可能世界整體的豐富性。他認為，他需要一個重組原則，根據該原則將不同可能世界的部分拼湊在一起，來產生另一個可能世界。大致上來說，這原則粗略來說是，任何事物都可以和其他事物共存（coexist），也可以不與其他事物共存。但還需要加上相似性或複本理論來進行修正：會有一個世界，這個世界可以讓任何事物在此世界的（足夠相似的）複本的共存。

但共存在這裡不能是無條件的，還要考慮我們允許世界可以如何用可能個體的複本將其填滿，Lewis 認為這裡的要求是：大小和形狀允許。一個世界的時空允許怎樣的大小和形狀？時空具有數學表達，表達豐富性的一種合適方式是對某個顯著類型（salient class）的一種表達，這些顯著類型的候選者由數學所提出。

Quine 建議我們可以將一個可能世界看作是數學表達式，像是四元的實數組，給出物質所佔據的時空點座標。Lewis 認為，世界不應該等同於這樣的表達式，而是接受一種對應關係：對於每個 Quine 式的假世界，都有代表其佔據和空缺模式的真世界。

Lewis 透過這個原則也打算解決或是迴避自然法則是否絕對必然的問題。

在所有可能個體中，有些是該世界的一部分，有些則是該世界某部分的複製品，有些在整體上不是、但其分割出的每部分是該世界某部分的複製。還有些個體，它可以分割成部分，但沒有任何部分是該世界任何部分的複製，Lewis 稱之為異源個體（alien individual），包含異源個體的世界稱之為異源世界。而未來自然性質，可以定義成，未被這世界的任何部分例現的性質。體現了異源性質的事物會是異源客體，有體現異源性質的世界是異源世界。

一個沒有任何個體、世界或性質是異源的世界，會是最豐富的世界，但我們沒有理由認為我們有特權居住在這樣的世界，因此任何可接受的可能性描述都必須為異源可能性提供空間。因此，不能光是透過對本世界的重組來生成異源世界，Lewis 認為，還需要允許對非時空部分（共相或殊質）的重組，這可以生成沒有異源性質的異源個體。而這樣的重組原則同樣可以適用於異源世界，使得可能世界的整體足夠豐富。

現實性

為什麼我們的世界是現實的世界而其餘的不是？Lewis 認為，「現實」就是「這個世界」的意思，他稱這為「現實性的指示詞分析（indexical analysis）」。指示詞的指涉對象會根據語境的相關特徵而變化，在現實性而言，相關特徵是話語發生的世界。

這使得現實性是相對的，每個世界在其自身都是現實的，因此所有世界都是平等的。Lewis 反對絕對現實性，他提出兩個理由：

1. 假設我們所在的世界恰好是那個絕對現實的世界，我們有什麼理由認為這樣的巧合會發生。又如何說明，為何這樣的知識是我們世界的人獨有的？為何我可能擁有但並不在這個世界的姐姐不能擁有這樣的知識？
2. 哪個世界是現實的，是一個偶然事態。在一個世界中，偶然事態以一種方式發生，而在另一個世界中，以另一種方式發生。所以在一個世界中，一個世界是現實的，在另一個世界中，另一個是現實的。

那麼，現實性是否是嚴格指示詞？Lewis 建議，它有時是嚴格的，有時是不嚴格的，在不同的使用情境下，去分辨各個指示詞實際所指的是哪一個世界。

此外，大多數我們關心的性質或是共相，在我們的世界內外都有實例，可以稱為「部分現實」。但考量到，其中有一些東西，如果我們希望在量化時不要忽略它們，或是我們認為我們自己是其中一員，簡單稱它們作「現實」會是適當的。

天堂中的悖論？

一切都是現實的？

第一個論證主張，Lewis 誤解了自己的立場，他不應該主張有許多可能世界，而我們的世界是現實的，其餘的是非現實的，而是應該主張，現實性比我們通常認為的要更大、也更零碎。因為不管有什麼，它都是現實的，這是顯而易見的。「現實」是一個適用於一切事物的涵蓋性語詞（blanket term），如同「實體」或「存在」。當說「有事物未實現」，就像在說有些事物不存在一樣荒謬。「現實論（Actualism）」不是可以自由肯定或否定的形上學命題，而是顯而易見的分析真理。

第二個論證主張，既然一切都是現實的，那麼如果有其他世界，它便會存在。那麼它們不是未實現的可能性，事實上它們與可能性無關。可能性並不關涉現實性，而是關涉現實性的替代品（alternative）。現實性可能有所不同，這便是模態性的全部意義。更多的現實性無法取代非現實的可能性。

Lycan 區分了原始的、只是現實性的量化子，和所謂的邁農式量化子（Meinongian quantifier）。Lewis 實際上也反對無限制的邁農式量化（Relentlessly Meinongian quantification），他只是主張量化能夠超越現實性。Lewis 認為 Lycan 對他的量化的擔憂並不在量化子上，他認為他們的量化子是一樣的，真正的困擾應該在於現實性。Lycan 認為現實性必須擴展到量化子不受限制時的範圍，因此超越現實性的量化是辦不到的。但 Lewis 並不認為現實性是這樣的意思，它只是用來表示「屬於這個世界」的指示性用語，而非作為涵蓋性語詞。

類似的批評可能把焦點放在「屬於這個世界地（this-worldly）」而非現實性上，同樣，Lewis 的回應是，他也並未將世界當成涵蓋性語詞。

堅持認為現實或世界該作為涵蓋性語詞的想法，來自對這三個常識論點的堅持：

1. 一切都是現實的。
2. 現實性包括與我們時空相關的一切（或許除去一些抽象實體）。
3. 可能性並不是現實性的一部分，而是現實性的替代品。

Lewis 將前兩個論點合稱為形上學現實論（metaphysical actualism），是關於有什麼存在的實質性理論。第一點稱為術語現實論（terminological actualism），這是關於談話的建議。而對於主張術語現實論是無法拒絕的分析真理的論點，稱之為分析現實論（analytic actualism）。Lewis 拒絕上述這三個論點。可以理解成，模態實在論無法接受這三個論點。

所有世界都在一個之中？

Forrest 和 Armstrong 以一個無條件的重組原則產生了一個悖論。假設有個世界複製了來自不同世界的一類可能個體，若且唯若它包含了該類的所有個體的未重疊複製。這麼一來會將任意類的世界一對一映成到這個世界上，導致了矛盾。

首先，這個大世界的基數在時空上會超過連續體；其次，這個大世界會比它自己還要大。考慮大世界有 $K$ 個電子，而這個 $K$ 是某個無限基數。那麼大世界的電子有 $2^K-1$ 個非空子集。對於每個這樣的子集，都有一個與大世界相似、但只留下電子的世界，將它們稱作世界的變體。有 $2^k-1$ 個變體，每個變體至少有一個電子，而我們的大世界有所有變體的非重疊複製。這就代表我們的世界至少有 $2^K-1$ 個電子，這必然超過 $K$。

Lewis 同意這個考慮，因此他更堅持重組原則應該有個資格限制，即「大小和形狀允許」。這麼一來，超過時空連續性或是某種時空架構的事物便沒辦法放到一個世界中。Forrest 和 Armstrong 認為這是特置的（ad hoc），但 Lewis 認為這並不差。這也符合他對世界作為部分幾合學之合、而非集合的看法。

存在比世界本身更多的世界

這個悖論是由 David Kaplan 和 Christopher Peacocke 所提出的：

1. 假設所有可能世界集合的基數為 $K$。
2. 這個集合的每個子集都是一個命題，即由一個句子表達的命題，該句子於該子集中的世界為真。
3. 有 $2^K$ 個這樣的命題，$2^K>K$。
4. 考慮某個人和某個時間。對於每個命題，他都可能有一個能由表達該命題的句子所指定的唯一思想。
5. 因此，每個命題都對應一個可能情境。
6. 因此至少有 $2^K$ 個可能世界。

Kaplan 指出，可以將思想者替換成說話者，來提供這個悖論的語義學版本。

Lewis 認為，(4) 是錯誤的。並非任何一組世界的集合都可能是某人的思想內容，事實上，大多數世界集合都不適合作為思想內容。Lewis 的理由並不是因為人類的侷限性，而是因為他同義一種廣泛的功能主義式（functionalist）的回答。一個思想者，是因為處於佔據特定功能角色（functional role）的狀態而擁有特定的思想內容。這個功能角色與該狀態對思想者的感官輸入、行為輸出及其它狀態的因果關係有關。這麼一來，思想的內容數量只能和這裡的功能角色數量一樣多。Lewis 認為，這裡的數量看起來不像是有不可數那麼多，也不像有命題那麼多。

Lewis 根據他的功能主義的內容理論（functionalist theory of content）來說明內容為何被刪去。這個理論有兩個部分：第一部分是適配原則（principles of fit），由理性原則約束，說明將內容分配到狀態以適配狀態的功能角色是什麼。第二部分是人性原則（principles of humanity），說明為什麼某些類型的內容更優先。

我們如何知道？

這是關於知識論的論證。如果模態實在論正確描述我們所知的內容，這些知識該如何被知曉？Richards 與 Lycan 認為，儘管可能世界語義學能夠為可能性陳述提供真值條件，但對特定陳述，通常無法確定這些條件是否被滿足。

Lewis 認為這並不是問題。如同 Benacerraf 對數學哲學提出的兩難，為了讓數學真理能夠以標準語義表達，我們往往會把數學真理的真值條件描述成關於對象的條件，而我們構想的對象本性，會超出人類認知能更好理解的範圍。Lewis 認為，模態實在論是站在和數學一樣的正確的一側。

即便我們對其他世界的事物無法有因果親知（causal acquaintance），但並不是所有的知識都需要這個。我們可以透過對偶然事物的因果親知，來發現自己的可能性，並透過對這些事物的觀察，瞭解其他世界的可能性。

是透過怎樣的方式知道？Lewis 對這問題以三種方式理解：

一、可以將它視作對知識分析的請求。Lewis 認為這是合理的請求，但他沒辦法提供答案，但他認為，模態實在論的理解並未使這問題變得更糟。

二、可以將問題視為對「自然主義知識論（naturalistic epistemology）」的請求：我們是如何實際上擁有對我們的模態觀點的知識的？Lewis 認為，我們的日常模態觀點絕大程度是重組原則的結果，對於更遙遠的可能性，重組可能比較沒用處，但我們還可以應用其他原則；譬如透過移除世界豐富性的任意限制來衍生更多世界、或將自然性質看待成並非全部都有在我們的世界實例化的東西等。

三、可以將其視為懷疑論的挑戰：如何證明這種知識建立在堅實基礎和無誤方法上。Lewis 認為，這種尋求無誤方法和堅實基礎的想法是不切實際的，如果某件事情是必然真理，相信這件事情是無誤的，不管是如何被相信的。而即使是從特定非偶然前提進行的推理，也可能非常簡單或非正式，如模態下的想像實驗或數學下的集合理論公式推導。

通往懷疑論？

這是由 Peter Forrest、George Schlesinger、Robert M. Adams 和 J. J. C. Smart 所表達的：模態實在論者會是懷疑論者，因為存在許多欺騙性世界（deceptive worlds），其中充滿許多與我們非常相似的人，他們以與我們相同的方式從經驗中學習，卻被欺騙而學到了許多錯誤（世界中充滿著各種足以誤導的他們無法發現的詭計）。如果有這樣的世界存在，那模態實在論者能夠不是懷疑論者嗎？

Lewis 將這些可能失效的合理方法統稱作「歸納法」。確實歸納法可能是可錯的，並可能讓我們被合理誤導。而我們都承擔著信任歸納法的風險，模態實在論者也不例外。他同樣能將其他世界稱為可能但非現實的，因此它們不會給我們任何現實的歸納錯誤案例，也不會提供任何歸納理由來反對歸納法。

Peter Forrest 論證了，欺騙性世界的基數在所有世界中是主導性的。這似乎表示錯誤的可能性能支持懷疑論，而有一類世界可能擺脫了直接的數量比較，顯著地比另一類世界更重要或具影響力。

Forrest 的論證可以這樣簡述：有一種充滿了副現象垃圾（epiphenomenal rubbish）的世界，這是如果應用了奧坎姆剃刀原則就會導致判斷失誤的世界。只有沒有副現象垃圾的那一個乾淨世界不具欺騙性。這使得每個乾淨世界都對應到無窮個垃圾世界。

Lewis 認為這個論證完全沒有力量。考慮一個無限表，這個表中每個數字只出現一次，左側是非質數的列舉，其餘是質數列舉，填充了一個二維陣列：

• 4 1 2 11 13 …
• 6 3 7 17 41 …
• 8 5 19 37 59 …

在每一行中，質數都以無窮對一的比例超過非質數，在每一類中，質數都具有主導地位，但這無法宣稱質數在所有數中具有主導地位。

Forrest 有一個更嚴謹的兩階段間接論證，使用等價類來進行論證。每個等價類中，世界除了含有的副現象垃圾以外，其他部分都相同。這樣的論證說明了，現實世界更像是垃圾世界，因為在沒有更多資訊的前提下，我們不可能從等價類中選出一個乾淨世界。

1. 假設，你知道哪個等價類包含現實世界。在每個等價類中，垃圾世界都以無窮比一的比例占主導地位。因此幾乎可以肯定，現實世界是垃圾世界。
2. 所有類都是平等的，無論正確的類最終是什麼，如果知道它，就應該結論現實世界是垃圾世界。

Lewis 認為這個論證的力量沒有比前版本更強。我們同樣可以以不同的分割來替代 Forrest 的分割，來支持奧坎姆剃刀原則。

這個間接論證事實上是一個有趣的獨立悖論。我們很難說清楚這兩步驟是哪一步驟的哪裡出錯了。但無論主張哪一步驟出錯，這都是每個人自己的問題，與模態實在論無關。一個模態實在論者或非模態實在論者，都能夠合理相信現實世界是乾淨的。Forrest 指出的難題，並不是單單模態實在論者才需要考慮的。

Jonathan Bennett 和 John Bigelow 提出可能性的豐富性可以透過多樣性（variety）來衡量。假設我們有一個在所有可能空間中的區域，而整個空間中點間的距離遠大過該區域內的任何點間的距離，這表明給定區域是整個空間中相對較小的部分。這表示，大小的比較可以和基數的比較無關。如果垃圾世界間的差異遠大過乾淨世界間的任何差異，這能讓我們合理相信我們的世界是垃圾世界而非等同的乾淨世界嗎？

Lewis 雖然同意比較相似性（comparative similarity）的概念，但應用上所有限制。他指出沒有固定的方法來權衡普通相似性與涉及到垃圾副現象的未考慮的相似性，也沒有必要確定無意義細節的不相似性是否比乾淨世界間的不相似性更不相似。如果超出了鄰近世界的範圍，以多樣性衡量豐富性並不合理。

通往無差異？

Robert M. Adams 將「絕對現實性」的論點和「指示性現實性」的論點相比較。如果一個非現實的可能世界中發生了邪惡之事，我們不會認為那是壞事，但現實之事有好壞的差異，這樣的信念表示現實的特殊地位是絕對的。這似乎表示指示性現實性的理論可能在倫理上無法提供令人完全滿意的答案。這似乎表示，一個模態實在論者，無論決定去做好事還是壞事，在鄰近的沒做這樣的事的世界的效益總和都是相同的，因此他對善惡應是無感的。

這也有實用性的版本，無論一些事情我有沒有努力去完成，在其他鄰近世界，都可能有已完成或未完成的世界版本。Larry Niven 也以一個故事表明，對多世界的認識可能會合理破壞生活的意志。

Lewis 認為，對於冷漠的三論證都依賴於一個錯誤的前提。關於道德、實用性或生活意志的考量，並不是希望某件事情在某世界的某處發生，而是一種自我中心的慾望，是關於我自己擁有某種性質的渴望，而不是關於整個世界系統是否滿足某個條件。後者是對事（De Dicto）的態度，通常無法用來化約對我（De Se）的態度，這兩種的渴望是不同的渴望。

模態實在論可能動搖的是真正普遍主義倫理學（truly universalistic ethics），但 Lewis 認為這不是什麼反對意見，普遍主義倫理學背叛了我們的情感，反對這種倫理學反而更接近常識。

任意性失落？

Peter Unger 認為模態實在論的「優點」在於讓我們允許將世界看得更不任意。Lewis 依然將這當成反對，因為他認為世界依然是任意的、未被解釋的，模態實在論並沒有改變這種觀點。這種任意性是理論的可信度所需要的。

一個世界可能將某些任意的特徵納入，它們僅是區分了我們世界和其他世界，不同世界有不同的無法觀測的機會過程的結果：不同的守恆粒子數量、不同的物理常數值、不同的基本法則的方程式形式。每個世界似乎選擇了它們特定的選項，如 Unger 所觀察的，當我們局部化我們的特定性時，也最小化了與此相關的任意性，這使得世界系統中的任意性消失了。

或許任意性並非消失，而只是轉移到何為現實的任意性上。但對模態實在論者來說，並沒有挑選出一個隨機的世界作為現實的，每個世界對其居民來說都是現實的。但我們居住在哪個世界並非是隨機的。哪個世界是現實的，是一個自我中心的事實，即我是副本中的哪一個。它不能有解釋，也不能要求解釋。

任意性在模態實在論本體論嵌入之後，之前那些隨意的事實現在仍然是隨意的。或許這種解釋在某意義上給了我們提供我們世界中每個偶然事實的充分理由，然而，Lewis 指出，這並不能提供、也不能取代因果解釋所需要的資訊。是這樣的資訊才使得這個世界顯得不那麼任意，但任何世界的居民都可以採取一種這樣的解釋，訴諸人性原則，讓它們的世界的事實看起來並不那麼任意。然而，並不需要是模態實在論者才能訴諸人性原則。

事實上，人性原則本身並非是一種解釋，而是一種表明我們可以滿足不需要解釋的理由。這種「解釋」的意涵只是在於讓我們不會對現狀的任意性感到驚訝。

難以置信的凝視

Lewis 認為它的模態實在論遭受到許多難以置信的凝視，不管他怎麼回應那些反駁。Lewis 承認模態實在論與常識觀點有關於實在的分歧。

Lewis 認為，常識值得尊重，但一個哲學理論有時候需要去糾正一些常識的觀點。特別是這個理論即便代價不低，但它在理論上的益處是值得的。

廉價的天堂？

有沒有代價不那麼大的模態實在論？代換模態實在論（ersatz modal realism）是普遍且強大的替代方案。代換論者主張，我們可以只擁有一個世界和無數代表世界的（以及其他個體的）可能樣貌的抽象實體，而非複數個具體世界。

根據代換模態實在論，抽象領域能夠扮演和具體可能性相同理論角色的抽象替代品的角色。它們的表徵有雙重意義：(1) 它們是表徵物，在某種意義上談論根據它們的情況是有意義的，從而 (2) 它們是表徵，取代它們所聲稱表徵的事物。只有一個代換世界被實現，它正確地代表表徵世界，其餘的代換世界都沒有正確表徵任何事物，而是具體世界的誤表徵。

除了具體世界外，更小的具體個體也有抽象表徵，這些是實現的代換個體，另外還有未實現的代換個體。

未實現的代換世界和個體和實現的不同，只是因為它們未能正確地表徵任何事物，而非它們是不同程度的存在。

代換論者有相對實現：每個代換世界都是根據自己實現的：它們都將具體世界表述為某種方式，如果確實如此的話，那那個世界就是正確代表的代換世界，也就是說，代換世界隱含地將自己表述為實現的。但也有絕對實現，哪個代換世界正確代表具體世界並不是只根據它自己實現的，只有唯一的具體世界能被表徵。

代換世界可以如何表示？Lewis 接著會開始分析幾個代換論的版本：語言的，代換世界像是故事或理論，以一些語言的字詞所建構；圖像的，代換世界像是圖像或比例模型，由同構（isomorphism）所表徵；魔法的（magical），根據代換世界的本性它便能簡單地被表徵。

語言代換論

語言代換論將代換世界夠造為語句的最大一致集。用於創造世界的語言可能只是日常語言，如 Richard Jeffrey 提議將代換世界視為「完整而一致的小說」。這小說盡可能詳細地描述一個可能世界，但不超出主體的語言資源。

代換世界以言說來表徵。如果該語言不是包含「驢子會說話」這句話的簡明語言，代換主義者需要指定一種解釋，某個句子在解釋下它表徵了驢子會說話，這是驢子會說話的顯式表徵（explicit representation）。如果沒有句子表徵這句話，但在將多個句子解釋後，共同表徵了「驢子會說話」，這是它的隱式表徵（implicit representation）。

創造世界的語言在某種程度上需要進行理想化，最好是無歧義且精確的。Lewis 認為，該代換世界是從具體世界的一部分所建構起來的集合論結構（因為句子可以不斷解析直到成為單詞的序列），語言代換論依此實現其安全可靠的本體論承諾。

看起來代換世界的基數相對於可能性所需要的是遠遠不夠的。有限單詞以及有限長度的句子的整體基數甚至不到連續統，但可能性光是考慮時空分配就比連續統還要多。但代換論者並不一定需要接受這裡的有限詞彙量和有限長度的語句的假設。基數問題在這裡更像是一種提醒。

Carnap 將代換世界視為集合，它只包含特定解釋形式系統中的原子語句或其否定，但不能包含兩者。這集合是世界創造語言的語句最大一致集，是給定系統的一個片段。該語言可以有無限多的述詞和名稱詞彙，可以不需要擔心基數。該集合稱為「狀態描述（state-description）」，依照該系統述詞所表達的所有性質和關係，它給出了從這些性質和關係來看的所有個體的宇宙的可能狀態的完整描述。狀態描述因此表徵了 Leibniz 的可能世界或 Wittgenstein 的可能事態（possible states of affairs）。

這方法有兩個困難：每個事物都必須有一個名字（狀態描述對無名事物無法給與述詞），並且不能有東西有兩個名字（狀態描述不能同時肯定與否定一個名字）。

第一種解決方式，是拉格多語（Lagadonian）法：每個事物都給自己命名。如果我們也相信共相是具體世界的組成部分，我們可以假設，具體世界能以某種方式區分成「基本的」殊相與共相，讓關於它的全部真理取決於有哪些殊相實例化了哪些共相。我們可以讓這些共相和殊相作為語言的詞彙：共相將自己當成述詞，而殊相將自己當成自己的名字。一對共相及其實例的殊相，可以作為一個原子語句。如果一個共相是多價的，這可以是一個多元組，由一個共相和數個共同例現的殊相，共同組成一個原子語句。該語言中的狀態描述或模型就可以作為一個代換世界。

如果我們相信數學宇宙，我們可以使用數學表徵代用世界。譬如，考慮一個時空座標系，假設每個點要嘛是 0 要嘛是 1，代表空或是佔據。這樣的話，一個數學代換世界，就是一組代表 1 的四元組，或是我們取點集合上的特徵函數。這個數學表徵一樣是語言表徵，使用 1 和 0 作為述詞，由時空點代表的數來命名。

還有一個問題要處理：當四元組數只是因為座標變換而有所不同實，這是一種可能性還是兩種可能性？Quine 透過取等價類來排除上述差異，可以這樣描述：1 和 0 是述詞，而四元數組則是開放項，因此四元組和 0 和 1 的配對變成開放句式，有相同的對於座標系的隱變元。整個特徵函數，即所有句式的集合，解釋成其成員的無限連詞的存在量化。兩個只因適當的變換而導致不同的特徵函數會互相蘊含。因此特徵函數的等價類即是一個句子的最大一致集。

除了代換的可能世界外，我們還需要代換的可能個體來表示小於世界的個體是怎樣的表徵。就如同將語言代換世界作為對整個世界的完整描述，語言代換個體也必須作為對世界部分的完整描述。我們可以將其視作世界創造語言的開放語句的最大一致集，帶有自由代詞或變量，或是，等價地，視作複合述詞的最大一致集。

Lewis 認為，一個可能個體因為是可能世界的一部分而存在於可能世界中，但語言代換個體在任何意義上都不是代換世界的一部分，我們只能說，一個代換個體根據一個代換世界而被現實化。只能說，代換個體和代換世界彼此映照（mirror）。假設代換世界由語句 $P$、$Q$、$R$、… 組成。那麼映照的代換個體可能部分地由開放語句組成：

• $x$ 是 $P$ 為真的世界的一部分，
• $x$ 是 $Q$ 為真的世界的一部分，
• $x$ 是 $R$ 為真的世界的一部分，
• …

這些語句在某程度上都是外在的描述。

假設代換個體由開放句子 $Fx$、$Gx$、$Hx$、… 組成，那麼映照的代換世界可能部分地由語句組成：

• 對於某些 $x$，$Fx$，
• 對於某些 $x$，$Fx$、$Gx$，
• 對於某些 $x$，$Fx$、$Gx$、$Hx$，
• …

當我們完成對一個世界的完整描述時，我們順便描述了其中的所有個體。如我們區分顯式表徵和隱式表徵，我們也可以區分顯式映照和隱式映照：如果映照語句作為代換世界和代換個體的成員出現，映照是顯式的，如果沒出現，而只是由出現的語句所暗示，那是隱式的。