Quine, New Foundations for Mathematical Logic

由於所有數學符號在各脈絡下所具有的可翻譯性，我們可以相信，每個僅由邏輯和數學符號組成的句子都可以翻譯成僅由邏輯符號組成的句子。

在懷海德和羅素的《數學原理》中表明，我們只需要三個邏輯概念：

• 成員關係：$(x \in y)$ 表示 $x$ 是 $y$ 的成員。或是解釋成 $x$ 是個體 $y$。
• 擇一否定：$(\phi|\psi)$ 表示不是 $\phi$ 和 $\psi$ 兩者都對。
• 全稱量化：$(x) \phi$，表示「無論 $x$ 可能是什麼，$\phi$」。

這個基礎的語言的構句可以上面三個邏輯概念遞迴地定義，而所有的數學句子都應該要能翻譯成其中一個該語言的構句。

定義

D1. 否定

$\neg \phi := (\phi | \phi)$

D2. 連言

$(\phi\land\psi) := \neg( \phi | \psi)$

D3. 實質條件句

$(\phi \rightarrow\psi) := (\phi|\neg \psi)$

D4. 選言（alternation）

$(\phi\lor\psi):=(\neg\phi\rightarrow\psi)$

D5. 實質雙條件句

$\phi\equiv\psi:=((\phi|\psi)|(\phi\lor\psi))$

D6. 存在量詞

$(\exists x) \phi =: \neg(x)\neg\phi$

D7. 包含關係

$(x \subset y) := (z)((z\in x) \rightarrow (z\in y))$

D8. 同一性

$(x=y) := (z)((x \in z)\rightarrow (y\in z))$

D9. D10. 描述

$((\lambda x)\phi \in y) := (\exists z)((z\in y) \land (x)((x=z)\equiv \phi))$

$(y \in (\lambda x) \phi) := (\exists z)((y\in x) \land (x)((x=z)\equiv \phi))$

D11. 抽象

$\hat{x}\phi := (\lambda y)(x)((x \in y) \equiv \phi)$

D12. D13. 列舉

$\{ x \} := \hat{y}(y = x)$

$\{ x, y \} := \hat{x}((z = x) \lor (z = y))$

D14. 關係（Kuratowski）

$(x, y) := \{\{\ x \}, \{x, y \}\}$

D15. 關係抽象

$\hat{x}\hat{y}\phi := \hat{z}(\exists x)(\exists y)(( z = (x, y))\land \phi)$

原理

P1. 外延原理

$((x \subset y) \rightarrow ((y\subset x)\rightarrow (x=y)))$

R1. R2. R3. R4. R5 起始定理

• (R1) $((\phi |(\psi | \chi)) | (( \omega \rightarrow \omega) | ((\omega | \psi) \rightarrow (\phi | \omega ))))$ 是一個定理。
• (R2) 若 $\psi$ 和 $\phi$ 的差別只有在 $\psi$ 裡面的自由變元 $y$ 在 $\phi$ 裡面是 $x$，則 $((x)\phi \rightarrow \psi)$ 是一個定理。
• (R3) 如果 $x$ 沒有出現在 $\phi$ 裡面，$(\exists x)(y)((y\in x) \equiv \phi)$ 是一個定理。
• (R4) 如果 $\phi$ 且 $(\phi | (\psi | \chi))$ 是一個定理，則 $\chi$ 是一個定理。
• (R5) 如果 $(\phi \rightarrow \psi)$ 是一個定理，並且 $x$ 不是 $\phi$ 的自由變元，則 $(\phi \rightarrow (x)\psi)$ 是一個定理。

討論

R1 和 R4 被 Nicod 和 Łukasiewicz 系統化的命題演算的改寫。R2 和 R5 提供如何操作量化符號。

R3 可以稱作「抽象原理」。

R3 會導出 $(\exists x)(y)((y\in x) \equiv \neg (y\in y))$ 是一個定理。但加上其他四個定理，可以證明 $(\exists x)((x \in x) \equiv \neg(x \in x))$，這是羅素悖論。羅素透過類型理論解決這個問題，排除同層對象的成員關係能作為我們的構句，並將這樣的限制加到我們一開始的構句定義中。

但由於類型理論只允許一個類擁有統一類型的成員，這會使得出現以下的狀況：宇類 $V$ 會被分解為每個類型一個的準宇類的無限序列。而 $-x$ 也不再是「所有不是 $x$ 的成員的 $y$」，而只能包括那些所有低於 $x$ 層級的東西。同時空類也會成為無限序列的空類、布林代數會在每個類型內都重現、$0$ 和 $1$ 在引入後，也會再每個類型都重現。

Quine 建議新的作法，不要使用類型理論，而是使用比較弱的替換規則，只在 R3 上考慮分層，其餘部分均不加以限制，來改寫 R3：

• (R3’) 如果 $\phi$ 是分層的且 $x$ 沒有出現在 $\phi$ 裡面，$(\exists x)(y)((y\in x) \equiv \phi)$ 是一個定理。

(R3’) 的更改會使得系統不是原先的不一致系統，新系統的限制沒辦法保證如 $\hat{y}(y\in y)$ 或 $\hat{y}\neg (y\in y)$ 的存在（這可能使我們的新系統被限制了表達一些類的能力）。

但 Quine 指出，實際上我們還是可以迂迴地克服這個問題。(R3’) 可以給出 $(\exists x)(y)((y\in x) \equiv ((z\in y) | (y \in w)))$，在這裡假定都是分層的。而根據其他規則我們可以完成替代推理，來證明：

(1) $(\exists x)(y)((y\in x) \equiv ((z\in y) | (y \in z)))$

(1) 是本來的羅素系統無法證明的。並且 Quine 指出，這個新系統不需要無窮公理，因為由 $R3'$ 就能表達宇類，以及宇類的無窮多個成員。