同一事實：$x = y$。相異事實：$x \neq y$ 或 $\not x = y$。以立基來說，對於同一事實與相異事實，我們可以有幾種論點，一個是說其中一個被另一個所立基，或是它們都不互相立基。Shumener 認為單獨處理的方式應該較好。

Shumener 的幾個假設：

1. 立基是事實之間的關係。
2. 立基是遞移的、非對稱的、非反身的，並且是事實性的（factive）。

Shumener 在本文中主要討論兩種同一與相異事實：

1. 普遍的（或量化的）同一與相異事實：牽涉到對於實體的量詞。
2. 個別的同一與相異事實：牽涉到個別實體（可以是對象、性質、關係等）的同一性與相異性。

同一性判準與立基

我們通常以充分必要條件來定同一性的判準，以 Kit Fine（2016）的說法，我們稱這種形式的判準是「實質判準（material criteria）」。Fine 以立基來寫成同一性判準：若 $x = y$，則某事實 $P$ 立基 $x = y$。這種形式的判準我們稱之為「立基判準（grounding criteria）」。

集合同一性$_{mat}$：$x = y$ 若且唯若 $(\forall z)(z \in x \equiv z \in y)$。

集合同一性$_{g}$：若 $x = y$，則 $x = y$ 全立基於 $(\forall z)(z \in x \equiv z \in y)$。

Fine 認為，我們如果想知道為何實體會是同一或相異的，我們必須尋求立基判準。因為「為何」是非對稱性的，充分必要條件沒辦法展示這個資訊。

顯然實質判準不蘊含立基判準，那立基判準是否蘊含實質判準？根據集合同一性$_{g}$，若 $x = y$，則 $(\forall z)(z \in x \equiv z \in y)$。但假若 $(\forall z)(z \in x \equiv z \in y)$ 則不會自動有 $x = y$，因為我們可能預先相信，不同的集合在形上學上不可能共享所有的成員。

我們可以改寫，來讓立基判準蘊含實質判準：

集合同一性$_{g2}$：

(1) 若 $x = y$，則 $x = y$ 全立基於 $(\forall z)(z \in x \equiv z \in y)$。

(2) 若 $x \neq y$，則 $x = y$ 全立基於 $\not (\forall z)(z \in x \equiv z \in y)$。

Fine（2016）討論了另外兩種同一性立基判準，第一種是普遍判準（general），另一種是一般判準（generic）：

集合同一性$_{g-\text{普遍}}$：$(\forall x)(\forall y) [ Set(x) \& Set(y) \& x = y \supset ( x = y \text{全立基於} (\forall z)(z \in x \equiv z \in y) ) ]$。

集合同一性$_{g-\text{一般}}$：對於任意給定的集合 $x$ 與 $y$，若 $x = y$，則 $x = y$ 全立基於 $(\forall z)(z \in x \equiv z \in y)$ 的事實。

同一或相異事實是基礎的嗎？何時是？

事物的同一性與相異性可能被當成是前置條件（precondition），例如 Fiocco 的想法，他堅持「個體性事不可闡釋的事物」。雖然這不見得能直接結論同一與相異事實是形上學上基礎的。要釐清牽涉個體的同一與相異事實是否是形上學上未立基的，要先釐清「前置條件」的意思。

選項之一：當事實 $\Phi$ 是另一個事實 $\Psi$ 的必然條件，$\Phi$ 是 $\Psi$ 的前置條件。但 $\Phi$ 依然可能是形上學上有立基的，甚至立基在 $\Psi$ 上：考慮 $\Psi$ 是 2 + 2 = 4，而 $\Phi$ 是 2 + 2 = 4 且 3 + 3 = 6。

考慮不單單依靠模態的「立基前置條件」：事實 $\Phi$ 是事實 $\Psi$ 的立基前置條件，若且唯若，每當 有 $\Psi$，$\Phi$ 偏立基 $\Psi$。

但即便同一與相異事實是在多元關係中的對象的立基前置關係，也沒辦法建立它們的未立基性。同一與相異事實依然可以立基於對象例現特定的單子性質。我們可以拓廣：同一與相異事實是例現任何性質的/位於任何關係中的對象的立基前置條件。

這會讓許多直覺上是形上學上基礎的事實變得不再基礎，電子擁有特定電荷的事實不再是未立基的，因為 $e = e$ 會是它的前置條件。

如果認為同一性是切中要結（joint-carving）的，那就更有動機將同一與相異事實看成基礎的。Theodore Sider（2011）將特定量化同一與相異事實和真理當成基礎的，即便這樣的基礎性不是立基定義的。他認為以下是切中要結的：「（帶有同一性的）一階量化理論，加上集合成員關係的述詞 $\in$，加上適用於基本物理學的述詞，加上結構的概念」。

對於立基理論者來說，問題可能要改寫成：我門有理由將個別的同一與相異事實，如 $a \neq b$ 和 $a = a$（它們為 $(\exists x) (\exists y) (x \neq y)$ 與 ($\exists x) (\exists y) (x = y)$ 立基）當成基礎的嗎？對於立基理論者來說有三個選項：一、主張涉及直覺上非基礎的對象的同一與相異事實是非基礎的，但是涉及直覺上基礎對象的話，是基礎的（接近 Sider）。二、所有個別的同一與相異事實都是基礎的。三、它們都是有立基的。

另一個理由是，如果至少有些基礎的相異事實，就可以說明特定類型的形上學可能性。考慮 Max Black（1952）的「球體世界（Sphere World）」：這個世界有兩個在質上同一的球體，Castor 和 Pollux，其他地方都是空的宇宙。我們難以決定 Castor 和 Pollux 哪裡相異。但如果我們將相異事實看成基礎的，我們就可以不理會這個問題。

Shamik Dasgupta（2009）建議這樣的進路，這個相異事實寫成：

$(\exists x)(\exists y)(( Px \& Py) \& x \neq y )$

$P$ 是一個述詞，用來挑出球體的完整的質。

為同一與相異事實立基的一些提議

接下來考慮同一與相異事實是有立基的的四個選項。雖然 Shimener 在這裡討論的是涉及對象一般的同一與相異事實，然而有時候或許改成特定對象會更合適。

第一個選項，性質提議。訴諸對象享有的性質來對同一與相異事實提供形上學解釋，特別是一半的萊布尼茲律：不可辨別的同一性原理（Della Rocca 2005）。

性質提議：

(1) 若 $x = y$，則 $x = y$ 全立基於 $( \forall F)(Fx \equiv Fy)$ 的事實。

(2) 若 $x \neq y$，則 $x \neq y$ 全立基於 $(\exists)(Fx \& \not Fy) \vee (\exists)(\not Fx \& Fy)$ 的事實。

$\forall F$ 的範圍是性質。但我們必須限制這裡的性質只有質的性質，不涉及個別對象的同一性，以免 (2) 的條件發生問題（任何 $b$ 都有「與 $b$ 同一」的性質，而所有不是 $b$ 的東西都不會有這額個性質）。即便有這個限制，在球體世界依然有問題。我們沒有兩個球體的相異的立基，Castor 與 Pollux 會是同一的。

第二個選項，存在提議。訴諸事物的存在來為同一與相異事實立基（Burgess 2012: 90），同一事實就是相關的存在性事實。

存在提議：

(1) 若 $x = y$，則 $x = y$ 全立基於 $x$ 存在的事實。

(2) 若 $x \neq y$，則 $x \neq y$ 全立基於複數的事實：$x$ 存在、$y$ 存在。

存在提議的進步是可以處理 Max Black 的球體世界了。

Burgess（2012）探索了存在提議的一個版本，並指出問題。如果 Castor 存在的事實有 $(\exists x)(x = Castor)$ 的邏輯形式，那麼 $Castor = Castor$ 全立基於 $(\exists x)(x = Castor)$ 的事實。但如果存在量詞的事實立基於它的例現，$(\exists x)(x = Castor)$ 又會立基於 $Castor = Castor$，造成了非反身性的違反。

有幾個方式可以避免這問題：(1) 可以反對立基的遞移性或非反身性。(2) 可以反對存在普遍化立基於它們的例現。(3) 可以反對存在事實總是存在普遍化。

在 (3) 的情況下，Castor 存在會是一個原子事實，$E(Castor)$。並且也要主張，$E(Castor)$ 不能由 $(\exists x)(x = Castor)$ 所立基，那麼就需要說明存在性質的事實和存在普遍化彼此會如何相關（見 Fine 2012 的討論）。

另一個問題是，存在提議無法適用於涉及不存在實體的同一與相異事實。聖誕老人與聖誕老人應該要是同一的，但是聖誕老人不存在。所以存在提議可以否認有這樣的事實，也可以否認 $\text{聖誕老人} = \text{聖誕老人}$ 挑出了真正的事實。然而如果我們有語句運算子的說明作為立基，我們可以支持 $\text{聖誕老人} = \text{聖誕老人}$ 是真語句，即便它沒有世界事實的對應。

第三個選項，部分關係提議。訴諸涉及部分關係的事實來立基同一與相異事實（Burgess 2012）。

部分關係提議：

(1) 若 $x = y$，則 $x = y$ 全立基於複數的事實：$Pxy$、$Pyx$。

(2) 若 $x \neq y$，則 $x \neq y$ 全立基於 $\not Pxy$ 的事實，或立基於 $\not Pyx$ 的事實。

$P$ 述詞挑出「…是…的部分」的關係。如果滿足 $Pxy$ 與 $Pyx$，可以說 $x$ 是 $y$ 的非恰當部分（improper part），我們在這裡並不用非恰當部分關係來定義同一性，而是以同一性來定義非恰當部分關係，以免在說明恰當部分關係的時候遇到必須用上同一性概念的循環。

雖然部分關係提議可以解決球體世界的問題，也適用於日常生活遇到的對象，Sider 堅持反對用部分關係定義同一性，因為在邏輯與形上學定律的 $=$ 如果需要改寫成部分關係這種分體論概念，會讓問題變得更複雜。

此外，分體論的虛無主義者也會反對恰當部分。對於主張只有分體論原子存在的虛無主義者來說，只有分體論原子可以是其他東西的恰當部分，這樣的版本似乎還可以。但另一種版本就不能接受這個提議，他們反對部分關係的存在，唯一存在的對象只有分體論原子。

最後一個選項，零立基提議。將同一與相異事實看成是零立基的。零立基的事實是有立基的事實，只是沒有事實為它立基。Fine（2012）這樣描述它們的區別（註：難以領會）：

[…]零立基和無立基間有個區別。在一個情況下，真理簡單地從世界上消失了，零立基的話可以這麼說。但如果是這真理是無立基的的狀況，真理從未生成過。

Tom Donaldson（2017）也將數學的同一事實看著成零立基的。要注意，這樣的提議並不將同一與相異事實看成基礎的，因為它們是有立基的。

零立基提議：

(1) 若 $x = y$，則 $x = y$ 是零立基的。

(2) 若 $x \neq y$，則 $x \neq y$ 是零立基的（由 Shimener 所添加）。

這個提議能夠處理 Max Black 的球體世界，但是我們不確定這種提議是否提供了兩個物體有所區別的形上學解釋。這個提議讓相異事實和同一事實以相同的方式所立基，但是不同種類的事實或許應該要有不同的立基Dasgupta（2014），但這提議讓它們完全沒有差異。