1. 對算術命題的觀點 §5-§17

無論是先驗性或是經驗性的，我們似乎難以解釋算數表達式的加總的一般原理：

• 一些複雜的算數無法從 Kant 的直觀中獲得公理般的自證性。
• Leibniz 的證明則忽視了「去除括號」如何從先驗上成立，更精確來說，他缺少了該序列成員的「唯一存在性」的證明。
• Grassmann 的解釋就算沒有循環，也會落入如 Leibniz 的困境。
• Mill 認為算術必須來自經驗，但這對於大數字的算術來說有些不可思議。

然而算數表達式確實能由數字的定義以及少數的一般法則推導出來。Frege 試圖要去釐清這些法則的性質：

• 它們不是自然法則，那些看似自然中成立的加法都只加法或其法則在物理上的應用。
• 它們也不是歸納性真理。首先，數字之性質並沒有均一性，所有數字都具有其獨特性質，這無法從事物上面找到。此外，數字因為不在時間與空間之中，也無法假定數字在時空中存續的一般性質。Frege 主張，可以說數字間幾乎沒有共通性質。
• 數字是生成性的，而非歸納性的，我們似乎更可以期待從數字的生成性定義中推導出個別數字的特殊性質，也或許可以從這樣的生成方法中來證明數字的一般法則。

考慮分析或是綜合，Frege 首先排除了後驗分析的這個組合。因此經驗論者只能支持後驗綜合，接著他認為還需要考慮先驗綜合或是分析。

即便幾何學可能是先驗綜合的，Frege 認為算數的根源似乎更加根本，它似乎不受限於直觀，並且其根本原理更加難以否定，Frege 認為數字的法則應該與思維的法則密切相連。可以說 Frege 在這裡的想法更接近 Leibniz。Frege 考慮的是，算術是否該建立在邏輯學上並從此發展而出，更精確地說，透過條件式的演繹而建立起來，因此是分析的。

2. 對數字概念的觀點 §18-§28

Frege 表明支持數字做為序列，即從 1 開始不斷「+1」來生成的方式。

數的原始概念因此不能來自幾何學定義的，也不能來自對度量量（quantitas）與單位度量量間的抽象關係的理解（如 Newton 認為的），因為這還包括了無理數和分數。

數字在語言中最常以形容詞形式和屬性結構出現，或許可能理解成從外部事物中提取或抽象而來。Schröder 和 Cantor 支持類似這樣的看法。Baumann 則認為不是如此，因為外部事物並沒有嚴格的單位，然而我們可以告知一個人調查的面向，讓他去得出相應的數量。這也代表著數字和顏色這類的性質的重要差異，因為顏色獨立於我們的選擇，而數字不然。

Mill 認為，數字的名稱代表所指事物之聚合的屬性，是聚合在此「特徵性方法」上能夠分合的性質。Frege 認為這裡不該用「此」，因為顯然有許多方法能夠分合聚合。因此數也不是來自堆砌的原則。

此外，Frege 也認為 Mill 把數的範圍想得太過狹窄。Locke 和 Leibniz 都認為數字可以適用於物質事物以外的對象。更有趣的事，無論把數用在物質事物上還是非物質事物上，數的意義都並未改變。

即便數字看起來如 Berkeley 所說，並不真實存在於事物本身，而是心靈的產物，但對事物的數的判斷，卻是絕對客觀的。Frege 強調，數字雖然是客觀的，但並不代表是真實的，也不需要所有人對此都有相同的直觀，這裡的客觀的意義在於這獨立於感官、直觀與想像等等的感性能力，但並不獨立於理性。

那什麼是獨立於理性的呢？Frege 在這的回答我不太理解，他說：要回答這個，就等數於是不做判斷地判斷，或在不弄濕毛皮的情況下洗它。畢竟，如果這問題問起來那麼不恰當，那「不獨立於理性」的意思又如何恰當呢？

Frege 也不同意 Schlomenlich 的看法，因為他說數是物件在序列中的位置的理念。算數的對象並不是事物的理念，而是事物本身，沒有你的數字 2、我的數字 2 的差別，數字 2 就是數字 2。

3. 對單位性與一的觀點 §29-§54

μονάς（德語的 Einheit），英文翻譯成 unity，我便暫時翻譯成單位性。Schröder 認為每一個被數的事物都被稱為一個單位。

但為何必須先將事物納入單位性的概念之下，而不是將數定義成一組事物？

一種看法是，如果單位沒有添加性質，那所有事物都有這個性質，這個性質便無限空泛（這有 Hegel 的定量的味道），這樣說一個事物是單位有什麼意義？此外，在考慮兩事物聚合時，會發現其聚合沒有「一」這個性質，這也需要解釋。

Leibniz 認為，「一」是我們能在一次理解行為中把握的全部事物。Frege 認為這是循環定義，並且是錯誤的，因為我們也能一次把握兩個事物。Frege 認為，如果在事物相續或並排出現我們就已經給與編號，實際上我們就已經先將事物劃分為單位了。這也是為何 Frege 認為數不能是「事物的數量」的概念的主要原因。

Baumann 採取類似的說法：「一」是我們理解為一、未分割且孤立的事物，即屬於內在直觀的對象。Frege 對此認為，如果「一」可以隨著我們的想法改變，將「一」歸屬給任何事物似乎沒有意義。此外 Frege 認為，對事物這種性質的直觀貓狗也有，但貓狗不應該有「一」的概念。

Frege 接下來提出一個語源學的洞察，那就是「統一（united）」是來自「單位」所衍生（這裡的單位翻成一性於是又更好，但翻譯問題不是我閱讀的重點），只是他指出，統一也並非意味著未分割與孤立，有可能只是他們可以被含攝在一個結構性的概念或是結構式的類比裡頭（「結構性的概念或是結構式的類比裡頭」是我的解讀）。

Köpp 不只認為是未分割，他認為一是不可分割的，但這裡的一已經是單位的概念了，因為他將這些要被計算的個體稱為「一」，以事物的內在連結作為觀察的單位標準。Frege 認為這樣的做法沒什麼好處，因為事物實際上便不是不能分割。

Frege 認為我們應該回來想想「單位只是事物的另一個名稱，並沒有添加描述」這樣的觀點。那幹嘛還需要單位？Schröder 認為，單位是用來賦予被數字化的對象必要的同一性（identity）。不過，看起來用「事物」或「對象」也可以有一樣的效果。這種對象的同一性是本來就有的，還是我們附加上去的？

像是 Hobbes、Hume 和 Thomae 都認為，數字預設了同一性，個別單位是個別完全相同的事物。但另一方面，Descartes、Jevons 更強調數字來自於事物的差異性（diversity），Schröder 似乎也支持這樣的想法，因為他認為事物若被計數，它們必須可被相互分辨並彼此對立。

當用單位去當成數時有個難題：如果將單位視為相同的事物或事物的相同部分的抽象，它們便不具被差異性，事物無法被區辨。但如果它們是相異的，當把事物的特殊性看成單位，一卻又不像是這樣的東西，把它們聚合起來的東西也不是數字，它們也不像在計算過程中有辦法保留這些事物的個別性，一但我們在算數中將差異事物算成相同的單位，在這裡就帶入了同一性，這也不能是任意的。（Frege 討論了 Jevons、Locke、Leibniz 和 Hesse 的看法。）

一些人（Hobbes、Thomae）嘗試將時間與空間當成事物的區別標記，但 Frege 認為並不成功：Leibniz 表示，數字也可以應用在非物質的事物上，Baunmaan 和 Jovons 也用其他方式指出，時間性和空間性在考慮單位時都顯得並不必要。但除了時間、空間以外，Frege 也同意，就沒有更好的劃分能夠拿來當做事物的區別標記了。

或許有人會認為，我們可以以序列當成事物區別的基礎，但這同樣有問題，這樣的安排預設了對象間是可分辨的。

Schröder 採取另外一種觀點，即將數字當成單純的計數符號，可以想成 $5$ 不過就是一個「正」字，而所有的自然數都是一些 $1$ 的總合。Frege 認為他只是定義了數字符號，並沒有在定義數字。

Jevons 則從同樣的事物中去將數字抽象，將該抽象數字表明為「差異的空形式 the empty form of difference」，Frege 認為這樣的作法則是有些含混。我們還是不明白該如何抽象，也不認為我們需要有這些事物才有辦法思考數字或是數字的性質。甚至這樣的說法對於 0 和 1 來說是無法成立的。

Frege 認為，我們必須先嚴格區分單位和 $1$。「數字一（the number one）」只有一個，對 $1$ 來說，有一些專名如特定對象的名字，也不能有複數。只有概念詞能形成複數，數字不能被定義成單位。

接著 Frege 認為我們應該要釐清，數字並不是直接分派給對象的一個性質，而是分配給一個概念的性質。當我們對不同的概念進行判斷時（即便它們可能在談論完全相同的現象，譬如「一批叢」或是「五棵樹」可能涉及的是完全相同的對象），概念收集了符合該概念的那些對象，接著我們便可以將數字分配給該概念，也就是說，數字是概念的性質，分派數字包含在對概念所做的判斷。對象依然保持其特殊性（可以專名來直接指涉它），並沒有被抽象。

Frege 最後是這樣定義「單位」：僅當一個概念以某種定義好的方法隔離了從屬於它的東西，並且不允許任意將其分割時，相對於某個數來說，該概念可以是單位。在命題「木星有四個衛星」中，「木星的衛星」是單位，屬於該概念的有衛星 I 到衛星 IV，可以看出衛星 I 和衛星 IV 相關的單位是相同的，而這些衛星也都還是可以區分的。

數的概念 §55-§86

Frege 對數字 $1$ 和 $0$ 的第一種定義（Frege 稱這是 Leipniz 式的）：

• $0$：數字 $0$ 屬於概念 $F$，當且僅當，命題「無論 $a$ 為何，$a$ 在 $F$ 之中」普遍為真時。
• $1$：數字 $1$ 屬於概念 $F$，當且僅當，命題「存在 $a$ 使得 $a$ 在 $F$ 之中」普遍為真，並且若命題「$a$ 在 $F$ 之中」且「$b$ 在 $F$ 之中」，則普遍地 $a$ 和 $b$ 相同。
• $n+1$：數字 $n+1$ 屬於概念 $F$，當且僅當，命題「存在 $a$ 使得 $a$ 在 $F$ 之中」普遍為真，並且數字 $n$ 屬於概念「在 $F$ 之中但不是 $a$」。

Frege 指出這組定義目前的問題在於，我們沒辦法知道有哪些東西是屬於 $F$ 的數字 $0$，因為這種對屬於概念 $F$ 的數字的定義並不完備，我們沒有辦法知道「凱撒」是否屬於或是不屬於概念 $F$。（Julius Caesar 問題。）

回顧上節的結論：數字陳述的內容是關於概念的斷言。Frege 要我們注意，他避免去說數字是概念的性質，因為數字只是在斷言內容中形成元素，個別的數字就本身而言是自存的對象（it forms only an element in what is asserted, the individual number shows itself for what it is, a self-subsistent object.）。Frege 表明，當我們說「木星有四個衛星」，也可以說「木星的衛星數是四」，而這裡的「是」的含義是同一或等同的意涵，更進一步說，「木星的衛星數」和「四」是同一個對象。

Frege 所表明的自存對象的意涵，不表示這個事物有辦法被感知或想像，也無論我們有沒有對數字的心理圖像。Frege 認為，只有在命題的脈絡中語詞才具有意義，數字詞因作為命題的部分而有內容，而所謂的「自存性」只是表明了，這些字詞不是被當成命題的述詞，也不是事物的屬性。但數字詞指稱的對象，也就是數字，顯然不是空間對象，但它們也不是主觀的——Frege 堅持，數字是客觀的，對於要處理數字 $4$ 的人來說，數字 $4$ 是完全相同的。

Frege 打算先定義的是「『屬於概念 $F$ 的數字』與『屬於概念 $G$ 的數字』相同」的意涵。他的策略是透過已知的同一性來定義數值同一性，讓數值同一判斷的「等號」兩側都會是數字。他首先定義：

• (1) 屬於概念 $F$ 的數字是概念「等數於（equinumerous）概念 $F$」的外延。

Frege 用平行線和相似形來舉例：線段 $a$ 的方向是概念「平行於線段 $a$」的外延，而三角形 $t$ 的形狀是概念「相似於三角形 $t$」的外延。這種定義的方式，我認為相當接近現代的同一類（equuivalence class）的定義方式。

首先，Frege 這樣定義概念的「等數於」：

• (2) 「概念 $F$ 等數於概念 $G$」，若且唯若，存在一個關係 $\phi$ 使得在概念 $F$ 中的對象和在概念 $G$ 中的對象能相互一對一地關聯起來。

接著 Frege 重新意義了數字（這裡沒有循環），根據 (1) 和 (2)：

• (3) 「$n$ 是一個數字」，若且唯若，存在一個概念，使得 $n$ 是屬於它的數字。

也因此，這是成立的，呼應 Frege 使用外延所做的定義：

• (4) 「等數於概念 $F$」之概念的外延等數於「等數於概念 $G$」之概念的外延，若且唯若，屬於概念 $F$ 的數字，也會屬於概念 $G$。

Frege 有意識到需要檢查這個「等數於」概念的遞移律，而他的「一對一對應」其實也已經蘊含了交換律。現代的的標準作法是會檢查這個等數於關係是一個同一關係，Frege 的作法已經很類似。

接著 Frege 這樣定義 $0$：

• (5) $0$ 是屬於概念「自身不同一（identical with）自身」的數字。

接著 Frege 定義自然數中的相鄰數：

• (6) $n^+$ 跟隨在自然數序列中的 $n$，若且唯若，存在概念 $F$ 及 $F$ 外延中的對象 $x$，使得屬於概念「在 $F$ 中但不同一於 $x$」的數字是 $n$，並且屬於 $F$ 概念的數字是 $n^+$。

透過 $0$，Frege 這樣定義 $1$：

• (7) $1$ 是屬於概念「與 $0$ 同一（的數字）」的數字。

由於 $1$ 裡面有 $0$ 這個對象，並且除去這個對象，$1$ 就等數於 $0$ 了，這就說明了 $1$ 跟 $0$ 是相鄰的。

接著 Frege 提出了五個（他覺得）可以簡單證明的命題，分別是：

1. 如果 $a$ 在自然數序列中跟隨著 $0$，則 $a$ 等數於 $1$。
2. 如果 $1$ 是屬於一概念的數字，則存在一個對象在該概念中。
3. 如果 $1$ 是屬於概念 $F$ 的數字，則有對象（稱其為 $x$）在概念 $F$ 中，且若 $y$ 也在概念 $F$ 中，$x$ 同一 $y$。
4. 如果一個對象在概念 $F$ 中，且可以從「$x$ 在 $F$ 概念中」和「$y$ 在 $F$ 概念中」推斷出 $x$ 同一於 $y$，則 $1$ 是屬於概念 $F$ 的數字。
5. 由命題「$n^+$ 在自然數序列中跟隨 $n$」建立的 $m$ 與 $n$ 是一對一對應關係。

接著 $Frege$ 要證明對於每一個數字 $n$ 都有 $n^+$ 在其後。為此，他選擇的概念是「結尾為 $n$ 的自然數序列成員」，這來自他的 Begriffsschrift ：

• (8) $x^+$ 在 $\phi$-序列中緊跟隨 $x$，或說 $x$ 在 $\phi$-序列中緊先於 $x^+$，若且唯若，對於任何 $F$，若每個和 $x$ 在關係 $\phi$ 中的對象都在 $F$ 概念中並且能從「$d$ 在概念 $F$ 中」普遍推出「無論 $d$ 為何，每個和 $d$ 在關係 $\phi$ 中的對象都在 $F$ 概念中」，則 $x^+$ 在概念 $F$ 中。

我想了一陣子才理解這應該就是歸納法原理的自然語言式的表述。

所謂自然數序列，就是由自然數的緊跟隨關係所定義的序列。接著 Frege 說明這個定義的合法性是可以證明的。他指出了證明的方向，即數學歸納法。

最後 Frege 提了一下他對 Cantor 的觀點的看法，總結下來是：

1. $\infty$ 是可以合理使用的（超限）數，並且它的定義可以吻合 Frege 對數的定義。
2. 他贊同 Cantor 的工作，但他覺得 Cantor 以冪定義無限數是多此一舉，因為數的定義就可以涵蓋了。
3. Frege 覺得他的作法更容易理解，並且也更符合直覺。
4. 他覺得 Cantor 的工作還是倚賴直觀，希望他可以找到更精確的定義。

結論 §86-§108

在結論中，Frege 說明了他對數的進一步想法：

1. 數字是客觀的，不是心理狀態，數學對象也不是心理學該面對的對象。
2. 數學上的矛盾基本上大概可以理解成邏輯上的錯誤。
3. 我們可以擴充數字體系來符合我們的需求，無論這個數字是否「真實」。但是，並非只要引入新數字沒有造成矛盾引入就是合理的，相反地，我們除了必須要證明這些引入並不會導致矛盾，也必須說明這個引入的符號以及進行此擴充的意義為何。
4. 然而 Frege 認為這種擴充並不需要以直觀來賦予意義，因為那些被認為「可以直觀」的數，並沒有比較真實。
5. 最後，他認為他這本書很重要的成果是，他說明了算式真理為何是先驗分析的。

附錄：Frege 的數字定義現代表述

透過現代符號，我們可以更清楚釐清 Frege 在 §55 至 §86 中的數字定義。

整理自 SEOP 的 Frege’s Theorem and Foundations for Arithmetic 條目。

符號定義：

• $\sharp F$：屬於 $F$ 的數。
• $F \approx G$：$F$ 等數於 $G$。
• $R(x,y)$：$x$ 在 $R$ 序列中緊先於 $y$。
• $R^*(x,y)$：$x$ 是 $y$ 在 $R$ 序列中的祖先（ancestral）。
• $\lambda x Fx$：表示「是符合 $Fx$ 的 $x$」。

(1) 等數性

$F \approx G := \exists R [ \forall x (Fx \rightarrow \exists! y (Gy \land Rxy)) \land \forall x (Gx \rightarrow \exists! y (Fy \land Ryx))]$

(2) Hume 原則

$\sharp F= \sharp G \leftrightarrow F \approx G$

(3) 基數

$x$ 是一個基數，定義為 $\exists F (x = \sharp F)$

(4) 繼承集合 hereditary set

$F$ 是在 $R$ 序列中的繼承，意思是：$\forall x \forall y (Rxy \rightarrow Fx \rightarrow Fy)$。縮寫成 $Her(F,R)$。

(5) $R$ 的祖先與後代

$R^*(x,y) := \forall F [\forall z(Rxz \rightarrow Fz) \land Her(F, R) \rightarrow Fy]$

$R$ 的弱祖先：$R^+(x,y) := R^*(x,y) \lor x = y$

可以證明：$R^+(x,y) \land Ryz \rightarrow R^*(x,z)$（最後在 (10) 的證明中會用到。）

(6) 自然數序列

$Procedes (x,y) := \exists F \exists w (Fw \land y = \sharp F \land x = \sharp [ \lambda z Fz \land z \not= w ] )$

$Nx := Procedes^+(0,x)$

(7) 自然數序列上的後繼遞迴性質

$HerOn(F, N) =_{abbr} \forall n \forall m [ Procedes(n,m) \rightarrow (Fm \rightarrow Fn) ]$

$HerOn(F, ^aR^+) =_{abbr} \forall x \forall y [ R^+(a, x) R^+(a, y) \land Rxy \rightarrow (Fx \rightarrow Fy) ]$

(8) （廣用的）數學歸納法

$[Fa \land HerOn(F, ^aR^+)] \rightarrow \forall x [R^ a x \rightarrow Fx]$

定義「以自然數 $n$ 結尾的祖先序列成員」：$[\lambda z Procedes ^ + (z,n) ]$

(9) $Q$ 的繼承性

$Q$：$[\lambda y Procedes(y, \sharp [ \lambda z Procedes ^ + (z,y) ])]$

• 證明：$Q0 \land HerOn(Q, N) \rightarrow \forall n Qn$

(10) 後繼引理

$\forall n Procedes(n, \sharp [ \lambda z Procedes ^ + (z,n) ])$

• 證明：「$0$ 在 $Q$ 之中」並且「$Q$ 在自然數序列中是繼承的」

(11) 自然數的定義有效性

$\forall n \forall y (Procedes(n,y) \rightarrow Ny)$，其中 $n$ 是自然數。

證明：

給定任意自然數 $n$、$a$ 使得 $Procedes(n,a)$。

因為 $n$ 是自然數，$Procedes^+(0,n)$ 也是自然數，根據定義。

因為 $Procedes^+(0,n)$，且 $R(n, a)$，因此會有 $Procedes^*(0,a)$。這就是 $Proceddes^+(0,a)$ 的定義。因此 $a$ 是自然數。